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中学生でも解ける外伝高校入試難問４１★ 2013年学芸大附属高

中学生でも数学

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★　　...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。

★★　...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。

★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。

今回は2006年の空間図形です。

問題

★

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図において、①は関数 $y=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2$ のグラフで、②は関数 $y=ax^2$ のグラフである。ただし $0＜a＜\frac{\sqrt{3}}{2}$ とする。点Aはx軸上の点で、x座標は正である。①上に点Bをとし、△OABが正三角形となるようにとる。線分ABと②の交点をP、線分OPと①の交点で点OでないものをQとするとき、以下に答えよ。

(1) 点Bの座標を求めよ。

(2) ∠APO=90°となるとき、aの値を求めよ。

(3) OQ=QPとなるとき、点Pの座標を求めよ。

ヒント、着眼点

(1) 直線OBを表す式を求めるのがよいでしょう。∠BOA=60°より、傾きが分かります。

(2) ∠APO=90°となるとどんなことが起こるのか。これも簡単でしょう。

(3) Pの座標を求めよ、とあるので、Pのx座標を文字でおきましょう。そこからQの座標を文字で表したりできます。aの値もわかっていないので、aの値も求めることになりそうです。

以下、解答

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解答

(1) B(2, 2√3)

(2) a=√3/9

(3) P(-2+2√5, 6√3-2√15)

解説

(1)

Bからx軸に垂線を引き交点をHとすると、OH:HB=1:√3なので、直線OBの式は $y=√3x$ である。

$y=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2$ と $y=√3x$ を連立して解くと、x=2, y=2√3

よってB(2, 2√3)

(2)

B(2, 2√3)より、A(4, 0)

∠APO=90°より、Pは線分ABの中点になるから、P(3,√3)

よってx=3, y=√3を $y=ax^2$ に代入して、 $\underline{a=\frac{\sqrt{3}}{9}}$

(3)

Pのx座標をtとする。P(t, at²)

OQ=QPより、Qは線分OPの中点だから、Q(t/2, at²/2)

Qは①上の点だから、x=t/2, y=at²/2を $y=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2$ に代入して、

$\displaystyle\frac{at^2}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{t}{2})^2$

よって $a=\frac{\sqrt{3}}{4}$

ここで、A(4, 0)、B(2, 2√3)より、直線ABの式は $y=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}$

だから、これにPの座標を代入して、

$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}t^2=-\sqrt{3}t+4\sqrt{3}\\ t=-2\pm2\sqrt{5}$

Pのx座標は正だから、 $t=-2+2\sqrt{5}$

よって、P(-2+2√5, 6√3-2√15)

↓ 次回と前回

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