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中学生でも解ける外伝高校入試難問４２★ 計算問題詰め合わせ①

中学生でも数学

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★　　...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。

★★　...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。

★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。

今回はいろんな高校から計算問題を集めてきました。都立の大問１はこれでばっちり？

都立の自校作成というより、難関私立の計算問題っぽいものが多いです。

と、いいたいところですが、作図の問題はないです。申し訳ありません。

問題

★

(1) $(2003^2-2001\times2003-2)\div2$ を計算せよ。

(2)

$9999\times20004+1001\times991+9-10001\times19996$

を計算せよ。

(3)

$\displaystyle a=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}},\ b=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}},\ c=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

のとき、 $(a+b+c)^2+(a-b-c)^2+(-a+b+c)^2$ の値を求めよ。

(4) $x=1+\sqrt{2}+\sqrt{3},\ y=1+\sqrt{2}-\sqrt{3}$ のとき、 $xy-x-y+1$ の値を求めよ。

(5) $\sqrt{455-7n}$ が整数となる自然数nを全て求めよ。

出題高校は順に、桐蔭学園、慶應女子、東大寺学園、早大本庄、修道

ヒント、着眼点

(1)(2) 登場する数字にだいたい近くて、きりのよい数字を文字で置いて、まずは文字式を計算してシンプルにして、それから代入します。

(3) あることに気づくと大幅に計算量を減らすことができます。

(4) $xy-x-y+1$ は因数分解できます。その結果に代入しましょう。

(5) 455-7n=7(65-n)とできます。よって65-nが7の倍数であることは確定です。また、455-7nが根号に入っているので、nが大きすぎてこの値が負になってもいけません。

以下、解答

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解答

(1) 2002

(2) 1032000

(3) 7+2√10

(4) -1

(5) n=2,37,58,65

解説

(1)

$x=2003$ とすると、

$(2003^2-2001\times2003-2)\div2=(x^2-(x-2)x-2)\div2=x-1=\underline{2002}$

(2)

$x=10000,\ y=1000$ とすると、 $2x=20000$ なので、

$9999\times20004+1001\times991+9-10001\times19996\\=(x-1)(2x+4)+(y+1)(y-9)+9-(x+1)(2x-4)\\=4x+y^2-8y\\=\underline{1032000}$

(3)

$\displaystyle b+c=0$ であるから、

$(a+b+c)^2+(a-b-c)^2+(-a+b+c)^2\\=a^2+a^2+(-a)^2\\=3a^2\\\displaystyle=3(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}})^2\\\displaystyle=\underline{7+2\sqrt{10}}$

(4)

$xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1)=(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})=\underline{-1}$

(5)

$\sqrt{455-7n}=\sqrt{7(65-n)}$ より、

$65-n=7k^2\ (kは整数)$

である。

$k=0$ のとき、 $n=65$

$k=1$ のとき、 $n=58$

$k=2$ のとき、 $n=37$

$k=3$ のとき、 $n=2$

$k=4$ のとき、 $n$ は負になるので不適。

よって $\underline{n=2,37,58,65}$

(5)は、「 $\sqrt{455-7n}$ が整数」とあるので、 $\sqrt{0}$ となるときも考えるということを忘れないように。

↓ 次回と前回

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written by k

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