中学生でも解ける大学入試数学５０★ 2018年学習院大

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問題
★

$6^{789}$ が $72^n$ の約数となるような最小の自然数 $n$ を求めよ。

ヒント、着眼点

「aがbの約数である」というのは、b÷aが割り切れるということですね。中3で、約数、公倍数などと因数分解の関係を習うかと思います。

例①7は28の約数である

28を素因数分解すると、28=2²×7となり、7は28の約数だと分かります。

例②12は180の約数である

12と180を素因数分解すると、12=2²×3, 180=2²×3²×5となります。この素因数分解の結果を見れば、約数であることは一目瞭然です。

つまり、「aがbの約数である」というのは、

「aの各素因数について、

aの素因数の指数≦bの素因数の指数

がなりたつ」

と言い換えることができます。

このように、約数であるかどうかと素因数分解の結果には密接な関係があります。これをうまく生かしましょう。

以下、解答

解答

395

解説

$6^{789}=(2\times3)^{789}=2^{789}\times3^{789}$

$72^n=(2^3\times3^2)^n=(2^3)^n\times(3^2)^n=2^{3n}\times3^{2n}$

より、3nと2nがどちらも789以上になるような最小の自然数 $n$ が答えとなる。

$2n\geqq789\\n\geqq394.5$

よって $n=\underline{395}$

補足

指数の計算について。

$(2^3)^n=2^{3n}$

しばしばこのような指数の計算ができない人がこの時期の難関高校受験生にもいます。

(2の3乗)をn乗する、ということは、2の3乗をn個並べることを意味します。

$(2^3)^n=\underbrace{2^3\times2^3\times\dots\times2^3}_n$

そもそも2の3乗は、2を3個掛け算したものですから、結局この式には2が3n個並ぶことになります。よって2の3n乗となります。

$(2^3)^n=\underbrace{2^3\times2^3\times\dots\times2^3}_n=\underbrace{(2\times2\times2)\times(2\times2\times2)\times\dots\times(2\times2\times2)}_{(2\times2\times2)がn個}=2^{3n}$

同様に考えれば、aのp乗をq乗すると、aのp×q乗になります。

$(a^p)^q=a^{pq}$

ちなみに、(aのp乗)×(aのq乗)は、aの(p+q)乗になります。aのp×q乗にはなりません。

$a^p\times a^q=a^{p+q}$

これもaが何個並ぶかを考えればわかります。

$a^p\times a^q\\=\underbrace{a\times a\times\dots\times a}_p\times\underbrace{a\times a\times\dots\times a}_q\\=\underbrace{a\times a\times\dots\times a\times a\times a\times\dots\times a}_{p+q}\\=a^{p+q}$

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written by k