数学
新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。 ↓↓↓ 去年もやっています ↓↓↓ ３０★★ 巣鴨高 ３１★★ 早稲田実業高 ３２★★ 城北埼玉高 ３３★★ ラ・サール高 ３４★ 慶應志木高 ３５★ 灘高 ３６★★★巣鴨高 ３７★★ 法政大学女子高…
我々はあまり深く考えずに多くのことを まあそれは当然なりたつでしょう。当たり前だ。 と雑に片付けてしまいがちです。突き詰めていくと本当に成り立つとは簡単に言い切れないことはたくさんあります。例えば、このようなことを聞いたことがありませんか。 …
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3辺が全て整数である直角三角形の最初の例として有名な3:4:5の直角三角形。1:1:√2とか1:2:√3とか、鋭角が特別な値なものも習いますが、この3:4:5の直角三角形は鋭角が何度であるかは中学校では一切触れられません。今回は高校数学までの知識で、この角度を考…
約数の個数、総和は難関高校入試にしれっと登場しますが、普通に高校数学の範囲ですよね。 問題★★ 自然数nに対して、nの正の約数の総和をと書くことにする。 (1) kを自然数、pを3以上の素数とするとき、 を求めよ。 (2) を求めよ。 (3) 2016の正の約数nで、 …
初めて見ると、こんな問題が大学入試にあるの？と思うかもしれません。 問題★★ (1) の大小を比較せよ。 (2) の大小を比較せよ。 ヒント、着眼点 問題文は誰でも理解できるほど簡単な問題ですが、どう大小を評価するのでしょうか。当然、直接計算できません。…
こんなところにも自然対数eが登場するという、不思議な例を見てみます。 問題 漸化式を作る 一般項を求める プレゼント交換がうまくいく確率 1/eに収束する理由 問題 n個の整数 1,2,3,...,nを、１番目に１が、２番目に２が、...、n番目にnが来ないように、1…
若干簡単な問題になるよう、数字を変えています。 問題★★ (1) コインを8回投げて、表が一度も出ない確率を求めよ。 (2) コインを8回投げて、表の出る回数がちょうど4回である確率を求めよ。 (3) コインを8回投げて、表の出る回数が4回以下である確率を求めよ…
小問集合から1つ。 問題★ 係数が整数の2次方程式 は を1つの解にもつ。A,Bを求めよ。また、 のとき、 の値を求めよ。 ヒント、着眼点 (1) A,Bはが整数であることに注意。a,bが有理数で、nが平方数でないとき、 ならばということを使います。 実はこれはマー…
日常生活で、この足し算は無限になるか、有限の値に収まるか、気になる瞬間はたくさんありますよね。ということで、有限になるか、無限になるかのクイズを用意してみました。 級数クイズ 問1. 調和級数 問2. 等比級数 問3. 交代級数 問4. バーゼル問題 問5. …
うまく数える方法を考える。 問題★★ 次を満たす5桁の自然数の総数を求めよ。 (1) 各桁が1か2で、1と2の両方が用いられている自然数 (2) 各桁が1、2、3のいずれかで、それらがすべて用いられている自然数 ヒント、着眼点 (1) ようするに、1と2を合計5つ1列に…
高校受験でやや発展的な内容として扱われるものとして、解と係数の関係があります。少し難易度の高い私立高校では受験問題でその知識が要求されることがあります。公立高校の受験ではめったに出題されないテーマですが、今回はこのことについての記事です。…
誘導がうまく使えると気持ちいい。 問題★★ (1) を展開せよ。 (2) の因数分解を利用し、 を7で割ったときの余りを求めよ。 ヒント、着眼点 数学の入試問題のよくある流れ。一見、(1)と(2)に関係がなさそうに見えるものほど(1)をうまく使って(2)が解けるパター…
私立高校入試でも十分あり得る問題。 問題★ とする。 (1) のとき、 の値を求めよ。 (2) のとき、 の値を求めよ。 ヒント、着眼点 高校入試でもやります。基本対称式の値を考える問題です。 つまり の値を考えるとうまくいきやすいです。 以下、解答 // 解答 …
ちょっと場合分けがややこしい確率の問題です。 問題★★ 1個のさいころを3回投げて、以下のルールで各回の得点を決める。 ・1回目は、出た目を得点とする。 ・2回目は、1回目と同じ目なら得点は0、異なれば出た目を得点とする。 ・3回目は、1回目か2回目と同…
数学は証明の文化です。論理を使いこなすことで、直感で分からないことも"分かる"ようになるのです。 さて、証明って何でしょうか。正しいって何でしょうか。 全知全能の逆説というものがあります。これを見ながら、証明とは何か、正しいとは何か、というこ…
2017年の問題の大問2の途中まで。 問題★ さいころをn回ふり、n個の出た目の数を全てかけ合わせた数をaとする。 (1) aが素数となる確率をnを用いて表せ。 (2) aが3の倍数となる確率をnを用いて表せ。 ヒント、着眼点 中学校でならう確率は答えに文字が入るこ…
ちょっと前に、フィボナッチ数列の記事を書きました。今回は数Bで習う数列の知識を使ってその一般項を求めてみます。 hibiyastudy.hatenablog.com フィボナッチ数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,... 隣り合った2つの和が次の値になる。そん…
問題を少し変えています。 問題★★ 自然数nについて、 以下の最大の整数を とする。 (1) の値を求めよ。 (2) となるnはいくつあるか。 ヒント、着眼点 の定義をしっかり理解できたら、落ち着いて解けるでしょう。 以下、解答 スポンサーリンク // 解答 (1) 14…
実際に院試を受験したときの自分の答案を再現＆若干の手直ししたものを記録として遺しておく。誰かの勉強の役に立つかもしれないし、自分の役に立つかもしれない。 あくまで自分の答案を書き起こしたものであり、間違っている可能性がある。それも含めて記録…
前回 東大院数学科を受験しました② - 日比谷高校のススメ 院試の問題を軽く振り返る。 自分の作った院試の解答は、いつか記事として遺しておきたい。 令和2年度大学院入試データ ・東工大院数学系 受験者70→筆記合格38→合格34人 ・京大院数学系 受験者110く…
前回 東大院数学科を受験しました① - 日比谷高校のススメ 次回 東大院数学科を受験しました③ - 日比谷高校のススメ 大学院受験までどんなことをしたかを振り返る。 3年春休み 1年のときに買わされた線形代数の演習書を1周する。1年の時は授業中に指定された…
タイトルの通りです。東大院数学科を受験しました。そのレポートをお届けします。問題の振り返り、反省を赤裸々につづります。 大学の数学科に興味がある人、これから数学科の院試を考えている人の参考になると思います。 大学院の入試問題がどんな感じかを…
問題を少し変えています。 問題★★ のとき、 の値の1の位の数字はいくつか。 ヒント、着眼点 難関高校受験でも出る基本対称式を使う問題。 を の組み合わせで表すことを考えればよさそうです。 たとえ分からなくても、0から9のどれかを書けば1/10で当たります…
