中学生でも解ける外伝高校入試難問４４★ 計算問題詰め合わせ②

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★　　...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。

★★　...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。

★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。

今回はいろんな高校から計算問題を集めてきました。今度こそ都立の大問１はこれでばっちり。

問題

★

(1) $\sqrt{5n}$ が奇数となる2けたの奇数nを求めよ。

(2) $\sqrt{\frac{224n}{135}}$ が分母と分子がともに自然数である分数となる最小のnを求めよ。

(3) $x$ についての2次方程式 $x^2+ax+5a+8=0$ が $x=-2$ を解に持つとき、aの値と他の解を求めよ。

(4) 2つのさいころを同時に投げたとき、出た目の数の積が和より大きくなる確率を求めよ。

出題高校は順に、都立青山高、都立西高、桐朋高、学芸大附属高

ヒント、着眼点

都立の過去問だけでなく、都立っぽい問題も集めました。そこそこ難しいものが多いです。計算ミスに注意。(2)は他よりも少しだけ難しいかもしれません。

以下、解答

解答

(1) 45

(2) 210

(3) a=-4,x=6

(4) 2/3

解説

(1)

$\sqrt{5n}$ が奇数となるから、 $n=5k^2\ (kは整数)$ と表せる。nが奇数だからkも奇数。nは2桁だから、 $10＜5k^2＜100$ を満たすkを求めると、k=3

よってn=45

(2)

$\displaystyle\sqrt{\frac{224n}{135}}=\sqrt{\frac{2^5\times7\times n}{3^3\times5}}$

より、 $n=2\times7\times3\times5=\underline{210}$

(3)

$x=-2$ を代入して、 $12+3a=0$ したがって $\underline{a=-4}$

このとき方程式は $x^2-4x-12=0,\ (x-6)(x+2)=0$

よって他の解は $\underline{x=6}$

(4)

これは落ち着いて36通りすべて調べるだけです。

1回目の目をx,2回目の目をyとすると、該当する組は、

(x,y)=(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)

の24通りにあるため、24/36=2/3

今回で中学生でも解ける外伝シリーズは終わりにしようと思います。長々とお付き合いくださりありがとうございました。

次回からは大学入試の過去問に戻ると思います。

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written by k