前回 【数学小話】３：４：５の直角三角形の鋭角は何度？ 今回は高校生向けです。春休みに早く突入して暇を持て余す高校生は、ぜひ式を一つ一つ追いながらチャレンジしてみてください。 前回は３：４：５の直角三角形の鋭角が(無理数)度であることを示しまし…

2次方程式の解の公式はこんな形をしていました。 これを習い、そして2次方程式を解く計算問題をたくさん解いた当時、「二次方程式が と表される数を解に持つとき、かならず も解にもつのか？」と疑問に思いました。実際、この予想は正しいです。今回はその証…

この記事はこちらの続編とまでは行きませんが、非常に関連しているのでまだお読みでない方は、さきにこちらをご覧ください。 【数学小話】当たり前なことほど示すのが難しいよねって話 こちらの記事の最後で少し触れましたが、「1+1=2の理由として、１個の石…

令和２年に行われた日比谷高校の入試における英語試験問題のうち、面白いと感じられた問題を取り上げて解説していきます。英作文に関しては実践的なアドバイスを載せていますので参考にしてください。 日比谷高校2020年(令和2年)国語の解説日比谷高校2020年(…

令和になって最初の日比谷高校入試。その国語の解説記事です。 日比谷高校2020年(令和2年)数学の解説日比谷高校2020年(令和2年)英語の解説 日比谷高校2019年(平成31年)国語の解説日比谷高校2019年(平成31年)数学の解説 日比谷高校2018年(平成30年)国語の解説…

令和になって最初の日比谷高校入試。その数学の解説記事です。 日比谷高校2020年(令和2年)国語の解説日比谷高校2020年(令和2年)英語の解説 日比谷高校2019年(平成31年)国語の解説日比谷高校2019年(平成31年)数学の解説 日比谷高校2018年(平成30年)数学の解説…

新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。 ↓↓↓ 去年もやっています ↓↓↓ ３０★★ 巣鴨高 ３１★★ 早稲田実業高 ３２★★ 城北埼玉高 ３３★★ ラ・サール高 ３４★ 慶應志木高 ３５★ 灘高 ３６★★★巣鴨高 ３７★★ 法政大学女子高…

数Bの数列の単元で登場するやや難しめの問題として、格子点の個数を求める問題があります。このタイプの問題の解法を研究してみます。 問題 解法①xまたはyを固定する 解法②長方形内にある格子点の半分 解法③nを1増やしたときの格子点の増加に注目する 解法④…

新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。 ↓↓↓ 去年もやっています ↓↓↓ ３０★★ 巣鴨高 ３１★★ 早稲田実業高 ３２★★ 城北埼玉高 ３３★★ ラ・サール高 ３４★ 慶應志木高 ３５★ 灘高 ３６★★★巣鴨高 ３７★★ 法政大学女子高…

我々はあまり深く考えずに多くのことを まあそれは当然なりたつでしょう。当たり前だ。 と雑に片付けてしまいがちです。突き詰めていくと本当に成り立つとは簡単に言い切れないことはたくさんあります。例えば、このようなことを聞いたことがありませんか。 …

新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。 ↓↓↓ 去年もやっています ↓↓↓ ３０★★ 巣鴨高 ３１★★ 早稲田実業高 ３２★★ 城北埼玉高 ３３★★ ラ・サール高 ３４★ 慶應志木高 ３５★ 灘高 ３６★★★巣鴨高 ３７★★ 法政大学女子高…

新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。 ↓↓↓ 去年もやっています ↓↓↓ ３０★★ 巣鴨高 ３１★★ 早稲田実業高 ３２★★ 城北埼玉高 ３３★★ ラ・サール高 ３４★ 慶應志木高 ３５★ 灘高 ３６★★★巣鴨高 ３７★★ 法政大学女子高…

新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。 ↓↓↓ 去年もやっています ↓↓↓ ３０★★ 巣鴨高 ３１★★ 早稲田実業高 ３２★★ 城北埼玉高 ３３★★ ラ・サール高 ３４★ 慶應志木高 ３５★ 灘高 ３６★★★巣鴨高 ３７★★ 法政大学女子高…

新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。 ↓↓↓ 去年もやっています ↓↓↓ ３０★★ 巣鴨高 ３１★★ 早稲田実業高 ３２★★ 城北埼玉高 ３３★★ ラ・サール高 ３４★ 慶應志木高 ３５★ 灘高 ３６★★★巣鴨高 ３７★★ 法政大学女子高…

新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。 ↓↓↓ 去年もやっています ↓↓↓ ３０★★ 巣鴨高 ３１★★ 早稲田実業高 ３２★★ 城北埼玉高 ３３★★ ラ・サール高 ３４★ 慶應志木高 ３５★ 灘高 ３６★★★巣鴨高 ３７★★ 法政大学女子高…

新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。 ↓↓↓ 去年もやっています ↓↓↓ ３０★★ 巣鴨高 ３１★★ 早稲田実業高 ３２★★ 城北埼玉高 ３３★★ ラ・サール高 ３４★ 慶應志木高 ３５★ 灘高 ３６★★★巣鴨高 ３７★★ 法政大学女子高…

新年になったので、高校入試が終わるまで高校入試の難問を紹介することにします。 ↓↓↓ 去年もやっています ↓↓↓ ３０★★ 巣鴨高 ３１★★ 早稲田実業高 ３２★★ 城北埼玉高 ３３★★ ラ・サール高 ３４★ 慶應志木高 ３５★ 灘高 ３６★★★巣鴨高 ３７★★ 法政大学女子高…

3辺が全て整数である直角三角形の最初の例として有名な3:4:5の直角三角形。1:1:√2とか1:2:√3とか、鋭角が特別な値なものも習いますが、この3:4:5の直角三角形は鋭角が何度であるかは中学校では一切触れられません。今回は高校数学までの知識で、この角度を考…

約数の個数、総和は難関高校入試にしれっと登場しますが、普通に高校数学の範囲ですよね。 問題★★ 自然数nに対して、nの正の約数の総和をと書くことにする。 (1) kを自然数、pを3以上の素数とするとき、 を求めよ。 (2) を求めよ。 (3) 2016の正の約数nで、 …

初めて見ると、こんな問題が大学入試にあるの？と思うかもしれません。 問題★★ (1) の大小を比較せよ。 (2) の大小を比較せよ。 ヒント、着眼点 問題文は誰でも理解できるほど簡単な問題ですが、どう大小を評価するのでしょうか。当然、直接計算できません。…

就活を終えてから半年間、卒論に忙殺され、長らく更新をサボっておりました。申し訳ありません。 また気を引き締めて、来年2月21日の受験本番に備え、受験生の皆さんの当日点を1点でも多くするべく、良質な問題を出していきます。 第一問 次の漢字の読みを答…

こんなところにも自然対数eが登場するという、不思議な例を見てみます。 問題 漸化式を作る 一般項を求める プレゼント交換がうまくいく確率 1/eに収束する理由 問題 n個の整数 1,2,3,...,nを、１番目に１が、２番目に２が、...、n番目にnが来ないように、1…

若干簡単な問題になるよう、数字を変えています。 問題★★ (1) コインを8回投げて、表が一度も出ない確率を求めよ。 (2) コインを8回投げて、表の出る回数がちょうど4回である確率を求めよ。 (3) コインを8回投げて、表の出る回数が4回以下である確率を求めよ…

小問集合から1つ。 問題★ 係数が整数の2次方程式 は を1つの解にもつ。A,Bを求めよ。また、 のとき、 の値を求めよ。 ヒント、着眼点 (1) A,Bはが整数であることに注意。a,bが有理数で、nが平方数でないとき、 ならばということを使います。 実はこれはマー…

日常生活で、この足し算は無限になるか、有限の値に収まるか、気になる瞬間はたくさんありますよね。ということで、有限になるか、無限になるかのクイズを用意してみました。 級数クイズ 問1. 調和級数 問2. 等比級数 問3. 交代級数 問4. バーゼル問題 問5. …

うまく数える方法を考える。 問題★★ 次を満たす5桁の自然数の総数を求めよ。 (1) 各桁が1か2で、1と2の両方が用いられている自然数 (2) 各桁が1、2、3のいずれかで、それらがすべて用いられている自然数 ヒント、着眼点 (1) ようするに、1と2を合計5つ1列に…

高校受験でやや発展的な内容として扱われるものとして、解と係数の関係があります。少し難易度の高い私立高校では受験問題でその知識が要求されることがあります。公立高校の受験ではめったに出題されないテーマですが、今回はこのことについての記事です。…

誘導がうまく使えると気持ちいい。 問題★★ (1) を展開せよ。 (2) の因数分解を利用し、 を7で割ったときの余りを求めよ。 ヒント、着眼点 数学の入試問題のよくある流れ。一見、(1)と(2)に関係がなさそうに見えるものほど(1)をうまく使って(2)が解けるパター…

私立高校入試でも十分あり得る問題。 問題★ とする。 (1) のとき、 の値を求めよ。 (2) のとき、 の値を求めよ。 ヒント、着眼点 高校入試でもやります。基本対称式の値を考える問題です。 つまり の値を考えるとうまくいきやすいです。 以下、解答 // 解答 …

ちょっと場合分けがややこしい確率の問題です。 問題★★ 1個のさいころを3回投げて、以下のルールで各回の得点を決める。 ・1回目は、出た目を得点とする。 ・2回目は、1回目と同じ目なら得点は0、異なれば出た目を得点とする。 ・3回目は、1回目か2回目と同…