【数学小話】１＋１＝２の証明の難しさ、数学と哲学

この記事はこちらの続編とまでは行きませんが、非常に関連しているのでまだお読みでない方は、さきにこちらをご覧ください。

【数学小話】当たり前なことほど示すのが難しいよねって話

こちらの記事の最後で少し触れましたが、「1+1=2の理由として、１個の石と１個の石を合わせると２個の石になるから」というのは少し微妙なのです。今回はその話について。

1+1=2の証明の難しさ

１＋１＝２の証明がなぜ難しいのかというと、

あまりにも当然すぎる内容であるから

です。本来の証明問題、
「『Aが成り立つならば、Bが成り立つ』ことを示せ」
といった問題は、あまりAとBが直接因果関係でつながっているようには見えにくく、

Aが成り立つときXが成り立ち、Xが成り立つとYとZが成り立つ。YとZが成り立つと、Bが成り立つ。ここまでをまとめて、Aが成り立つとBが成り立つことになる。

などといった構造が隠れているものが多く、この構造を明らかにして書きだすのが結果として証明になるわけです。つまり、AからBが出てくるまでに少し複雑な過程を経るので、それを説明するのが証明だ、と考えることができます。

「１＋１＝２」のような簡単なことの証明はどうでしょうか。１＋１がどのようなからくりによって２になるのでしょうか。そもそも理由としてわざわざ説明するようなことがあるようには思えません。あまりにも簡単なことは証明として何を書けばよいのか分からないのです。

１つと１つを合わせたら２つ

そもそも足し算がどう生まれたか、に思いをはせてみると、むかーしむかし、人々が
「１個の石と１個の石を合わせると２個の石になったなあ」
「１本の木と１本の木を合わせると２本の木になったなあ」
「〇と〇を合わせると２個の〇〇になるなあ」
という経験を繰り返していくうちに、
「どんな物体であれ、１つのものと１つのものを合わせると２つのものになるなあ」
となっていき、この事実をどう書き表そうかと考えて、

「ものが１つある状態を『１』、２つある状態を『２』と書くことにして、これを『１＋１＝２』と書き表そう」

となったと推測できますし、おそらくこれは間違いないでしょう。つまり、歴史的には、１つと１つを合わせて２つになるという現実があり、それを「１＋１＝２」と書くことにしたはずです。２＋２＝４も、３＋４＝７も、実際にそうなったのを観測して、それを書き表したのでしょう。

では１＋１＝２の証明は「実際に石でやってみたらそうなったから」なのだ、と結論付けてよさそうに聞こえますが…

数学としての１＋１＝２

１３４個の石と２００９８３０個の石を合わせたら２００９９６４個の石になるのを実際に誰かが実験したから１３４+２００９８３０=２００９９６４なのかというと、そうではありませんよね。おそらく人類史上今まで誰一人として１３４個の何かと２００９８３０個の何かを合わせる実験をしていないでしょう。１＋１＝２、３＋４＝７などは実際に誰かが試して得られた結果を書き表したに過ぎないかもしれませんが、桁数が大きくなれば、誰も試したことのない足し算が必ず存在します。
では、「なぜ１３４+２００９８３０=２００９９６４なのか」という問いの答えに、「１３４個の石と２００９８３０個の石を…」と答えるのはどうでしょうか。誰も実際に実験をしてその結果が得られたわけではないのにそれを根拠とすることはできません。すなわち「なぜ１３４+２００９８３０=２００９９６４なのか」という問いに対し、現実とは切り離された、論理のみで証明する必要があります。

このように、１３４+２００９８３０=２００９９６４を現実から切り離して考えるように、数学の問題として１＋１＝２の証明を考える時は、現実と関係なく数学の論理のみで完結する証明を考えなければなりません。
このように考えてみると、「１＋１＝２の証明」として何について言及しなければならないかが少しずつ見えてきます。

自然数の定義

現実とは完全に切り離された論理だけで「１＋１＝２」をとらえようとすると、いきなり「１ってなんだ？」となります。 数学的にきっちりと１を、さらに言えば自然数を定義するにはどうするか、という問題を19世紀末の数学者、ペアノが定めた「ペアノの公理」により一つの答えが与えられました。ひとまずWikipediaに乗っているものを載せてみます。*1

ペアノの公理

自然数は次の5条件を満たす。

1. 自然数 0 が存在する。
2. 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
3. 0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。
4. 異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
5. 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。

このペアノの公理では０を最小の自然数としています。集合論の立場ではこのように最小の自然数を０とすることがあります。見た通り、この文章を理解するのが難しいです。これが「１＋１＝２の証明が難しい」と言われるもう一つの理由です。ペアノの公理の２番を見ると、
suc(a)はa+1の"意味"
とあります。これにより、１＋１はsuc(1)すなわち１の後者という意味になります。１の後者は２ですから、この意味で
１＋１＝２
となります。つまり、なぜ１＋１＝２なのかと問われたら、
1の次の自然数が2だから
と答えることができます。

ちょっと難しい話
このペアノの公理の１番で、「自然数 0 が存在する」と無条件で最小の自然数の存在を認めています。集合論においてきっちりと０を定義するときは、空集合を０と定義し、suc(a)=a∪{a}と定義し、帰納的に得られる集合を順番に1,2,3,...と定義します。すなわち、
0=Φ
1={Φ}
2={ Φ , {Φ} }
3={ Φ , {Φ} , { Φ , {Φ}}}
となっていきます。

まとめと次回予告

さて皆さんは、１＋１＝２をだいたい理解したかと思います。

・現実的(歴史的)に１＋１＝２を見れば、１つと１つを合わせたら２つになったという事実を書き表したものと思うことができる。
・数学的に１＋１＝２を見れば、ペアノの公理というものによって自然数が定義され、これによれば１の後者が２である、と思うことができる。

というのがまとめでしょうか。次回は、「理解する」ということを少し考えてみようと思います。

算数のテストで、「１+１」という問題に対し、「２」という答えを書いた子供がいたとします。他者からすると、理屈が分かっていて（ここでは、１つと１つを合わせると２つだから、ということを指します）２と答えたのか、理屈は知らないけどどこかで「１＋１＝２」という文字列を見たことがあり、前にもこう答えて正解したから２と答えたのか分かりません。つまり、直接本人に追加で質問をしない限り、答案の２という文字を見るのみでは、この子供が足し算を理解しているかどうか分からないのではないでしょうか。

さて、そうすると、「１＋１＝２を理解する」とは何か。足し算を理解するとは何か。足し算を理解しているかいないかの境目は何か。ということがぼやけていることに気づきます。次回はそんなことを考えてみます。

written by K

*1:https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86より。