【数学小話】中学生からの結び目理論入門①
大学の数学というのは分野が非常に細分化されており、その1つを究めるだけで精一杯、という世界です。その中でも筆者が現在関心のある分野である結び目理論について、中学生でも理解できる言葉だけ（たまに外れるかもしれません）で、その面白さを説明してみようと思います。直観的なことをどう数学として定式化するか、どうやって解析の道具を作り、使うか、といった理論の奥深さも知ってもらいたい、という動機からこのシリーズを始めました。
第1回 結び目理論とは何か（本記事）
第2回 不変量（未投稿）
結び目理論とは何か
まずここで言う結び目とはどういうものを指すかを述べます。結び目とは、空間内の紐の両端をつなげたものを指します。つまり紐をぐちゃぐちゃっと絡ませて（もちろん何もしなくてもいいです）その両端をつなげたものを結び目と言います。結び目は我々が生活している空間の中の存在として考えるますが、机の上で考えるために、立体的な結び目を平面的な図として描き表します。下図(a)、(b)、(c)右のように、上下で交差している様子をうまく表現して結び目を平面に描いたものを射影図といいます。
図1において、(a)は何もないただのループで、これは一番簡単な結び目として自明な結び目などと言われます。(b)はその次に最も簡単な結び目、三葉結び目などと呼ばれるものです。
結び目と聞いて真っ先に思い浮かぶのは(c)左のようなものでしょう。しかし数学において結び目といえば、あくまでループ、両端が繋がっていないといけないので、両端を繋げたもの、(c)の右図としてとらえます。
図2左に、複雑そうな結び目を描いてみました。一見複雑そうに見えますが、実はこの紐はうまくほどけて自明な結び目(図2右)にすることが出来ます。このように、切ることなくほどけて自明な結び目になるなら、その結び目は自明な結び目と「同じ」と言います。
さらに図1にもどって、三葉結び目(b)と、(c)の右の結び目も、じつは実際に紐を手で持って動かすなどすれば、「同じ」であることが確認できます。
ここでの同じとは、切ったりせず連続的に変形して一方が他方に移り変わることを意味します。
結び目理論はどういうものか一言で言うと、
2つの結び目が同じかどうかを、どうやって調べるか考える理論
です。
昔の子供がやる遊びとして、あやとりがありました。あれは自明な結び目をひねったりくぐらせたりして、切ることなく連続的な変形によってさまざまな形を作る試みと言えます。あやとりの作品はすべてほどけるので、自明な結び目と同じです。
これはあやとりの一作品のフリー画像です。この4段はしごも、自明な結び目と同じです。なぜかと言えば、実際に4段はしごを作る手順を逆にたどれば自明な結び目まで変形できるからです。
しかし、一般にもっと複雑な結び目が出た時、それがほどけるか（自明な結び目と同じか）どうかというのは、すぐに分かるとは限りません。実際に紐を用意して結び目を再現して、手であれこれ動かしてもいいですが、そういうことは数学とは言いません。
結び目が違うことを証明する
実は、この(a)自明な結び目と(b)三葉結び目は、同じではないことが数学的に証明できます。
実際に紐で(b)を作ってどう手で動かしても(a)にはならないから、というのは証明にはなりません。「あなたが動かすの下手くそなだけで、実はうまいことほどける動かし方があるかもしれないじゃないか」「あなたのやって見せた動かし方が、動かしうる全てであることが言えるのか」といった反撃を喰らいます。それが数学の証明の理論です。
具体的にどう証明するかは、次回以降見ていくことにしますが、時には中学生でも分かるような手法だったり、時には大学以上の数学を使う方法だったりと、結び目を区別する道具はいくつもありますが、どれも一長一短があり、2つの結び目が同じか異なるか、完璧な判別方法はありません。
現在、結び目を平面に描いたときの交点を可能な限り減らした時の交点の個数によって結び目は分類されています。
これは交点の数が8以下の結び目の表です*1。交点が8以下だけでもこれだけ存在するのです。また、これらの結び目にはそれぞれ鏡像が考えられます。
実はこの2つの三葉結び目は互いに鏡像の関係ですが、これらは異なる結び目、つまり紐を手で動かしてもう片方に変形できないのです。
一方、表のなかで41と書かれるこの結び目は、鏡像ともとの結び目は同じであることが知られています。
では、ある結び目とその鏡像が同じになるのはどのような条件なのか？ある結び目とその鏡像が同じかどうかどうやって判定するか、こういった問題が出てくるわけです。
結び目は1本の紐をつなげたものですが、2本以上の紐が絡み合っているものは絡み目といい、これも結び目理論の研究対象です。何個の輪っかが絡まっているかを成分数といいます。
図8左は成分数2の中で一番簡単な絡み目、図8右は成分数3の絡み目です。五輪のマークだったり、DNAの両端が繋がってしまったものだったりと、自然界には結び目も絡み目もたくさん存在します。
次回からは「不変量」という言葉をキーワードに、結び目が同じかどうかを判断する方法を見てみます。
少しだけネタバレをすると、結び目の射影図を見て、ある手順に従って式を作ります。
その手順に従うと、この三葉結び目の左では、右では
という式になります。
そして、同じ結び目なら（形状は違っても）同じ式になる、違う式なら異なる結び目である、という性質が証明できるので、これでもってこの2つの結び目は異なることが証明されるのです。
今回は結び目とは何か、結び目が同じとはどういうことか、そして結び目が同じだったり異なったりする例を見てみました。次回はもっと数学チックに、結び目を調べる方法を見ていきます。
written by k
*1:この画像はLickorish,An Introduction to Knot Theoryのp.5より引用
【数学小話】男女の人数を求めるタイプの連立方程式の問題
中学2年で連立方程式を習い、そこで割合と絡めた問題として、次のような問題がよく出ます。誰もが何度も目にしたことがあるでしょう。
ある学校の昨年の入学者は男女合わせて500人だった。今年は昨年に比べて、男子が3%減り、女子は2%増えたので、入学者は計495人だった。今年の男子と女子の入学者をそれぞれ求めなさい。
今回はこのタイプの問題を「いかに楽して解くか」について考えたいです。全人類この計算量が多くて面倒な問題で時間を無駄にしていると思いますので。
で、この昨年に比べて何%どうなったから今年はどうでした、というタイプの問題は、「今年の人数が聞かれているけど、昨年の男女をx,yと置いて連立方程式を作るのがお決まりだ」と教わるところまで、誰もが通る道なのではないかと思います。このタイプの問題は個人的に習った当時からずっとあまり好きではありません。単純に面倒だからです。
中学生だった当時の私は当然疑問に思うわけです。「問われている今年の男女をx,yと置いて連立方程式を作った方が実は早かったりするんじゃないの？」と。実際にやったことがある方ならお分かりかと思いますが、今年の男女を文字で置く方がもっと面倒です。正攻法とこの解き方をちょっと見てみましょう。
問題(再掲)
昨年は男女合計500人、男子-3%、女子+2%で今年は495人
正攻法
昨年の男女の人数をそれぞれ人、
人と置くと、
今年の男女を文字で置く方法
今年の男女をそれぞれ人、
人と置くと、
どちらの連立方程式の方が計算が楽でしょうか。2番目の式を見ればすぐ気づきますが、後者の方が明らかにやばいです。通分が面倒すぎることに気づくでしょう。後者の2番目の式に両辺97×102をかけて頑張りたいですか？
ということで、中学生の私は正攻法のやり方を選択し続けたわけですが、それでもずーっと面倒だなあと思っていました。ですがある時、問題の仕様を隙をついた方法に気づいたのです。これが今回の本題。
重要なこととして、増減した人数は整数であるということ。 当たり前ですが、男子は12.4人減り、女子は22.4人増えて、総合したら10人増えました、なんて問題は存在してはならないのです。きちんと増減した人数も整数になるように問題は作られているはずです。(もしかしたらそうでない、おそまつな問題もあるかもしれませんが)
さて、そのことを踏まえてもう一度さきほどの問題を見てみます。
昨年は男女合計500人、男子-3%、女子+2%で今年は495人
実はこの時点で男子は0か100か200か300か400か500であることが確定します。基本的にこの手の問題で男子か女子が0人というのは答えになるはずがないので、100から400の4択だと絞り込めます。
それはなぜか。3%が整数になるには、もとの整数が100の倍数でなければならないからです。3%というのは要するに100で割って3をかけるわけで、その結果が整数になるためには100で割った数がそもそも整数でないといけなくて、それすなわち100の倍数なのです。
同じ理屈で行くと、1%,3%,7%,9%,11%など、(5の倍数でない奇数)%の増減とあったら、その人数は100の倍数だと確定しますね。
5%や15%、25%ではそうもいきません。例えば120人の5%は60人、36人の25%は9人ですね。まぁ、25%というのは1/4のことですから、4の倍数なら必ず25%も整数になるのですね。一度結果をまとめてみましょう。
x%の増減について、xがいくつのとき、もとの人数はどうなるか。
・5の倍数でない奇数→100の倍数
・5の倍数→20の倍数(1の位が0で、10の位が偶数)
・10の倍数→10の倍数
この程度は覚えておくとどこかで役立つかもしれませんね。ちなみに、この対応をじーっと眺めてみると、xがaの倍数→もとの整数はbの倍数となっているそれぞれにおいて積abは100の倍数になっています。（少し考えるとそこまで不思議なことではないと分かります）
では最後にこのことを踏まえてもう1問、実践してみます。
昨年が360人であった。男子-3％、女子+5％、全体で2人増加
まず昨年の男子から攻めます。3%とあるので、100か200か300でしょう。男子300女子60もありえなくないですが、この場合は男子の3%と女子の5%を比較したときに男子3%の方が大きくなってこの場合全体で2人増加にならないでしょう。
たいていこういう問題は男女の人数がそうかけ離れていないと邪推し、男子200女子160が一番答えになりそうだと考え、そう仮定して実際に計算してみます。ダメなら次は男子100、女子260。それもダメなら男子300女子60を計算しましょう。
男子、200の3%は6人
女子、160の5%で8人
これで-6+8=2人増加になっているので、やはり男子200女子160で決まりですね。今年の男女を求めるパートでも、いま男女の増減を計算したのを使って、
今年の男子、200-6=194
今年の女子、160+8=168
はい出ました。
問題によっては5%と10％だから全然絞り込めない、ということもあるでしょうし、もしこれが高校以上だったら他に答えがないことは確認してないじゃないか、といったツッコミもくるでしょうが、中学のこの手の文章題なら99.99999%答えは1つなので、答えを出したいだけなら、たぶんこれが一番早いと思います。
今回は以上です。なぜ3%や7%だともとの人数が100の倍数確定なのか、言葉でさらっと説明するだけにとどめましたが、式を書いて、数学の証明問題のようにきちんと説明するにはどうすればよいか、ということを考えてみることを皆さんへの宿題にしようかと思います。ではまた。
追記:最近ずっと更新できなくてごめんなさい。
written by k
【高校英語】英文解釈の難問③
ここでは、不定期で僕の出会った難しい英文を紹介していきます。
第1回
第2回
レベル：難関大で差がつく
次の英文を和訳せよ。
In the West, work is looked on not as something innately good but as a miserable labor divinely imposed on people as a punishment for sin, freedom from which can be won only by faithfully following the teaching of God.
語彙) innately 本質的に. divinely 神の力で
以下、解答。
模範和訳）西洋では、労働は本質的に良いものではなく、罪を償うための罰として人々に神から課された恥ずべき苦役であるとみなされおり、この苦役から解放されるためには、神の教えに誠実に従うしかない、と思われている。
[基本的な構造解説]
息の長い英文です。随所に散見される英語的な表現を、どれだけ上手に和訳できるか？がポイントです。
文の前半の構造を見ていきます。
In the West, work is looked on not as something innately good but as a miserable labor (divinely imposed on people as a punishment for sin),
この文の主語は" work "であり、主語を受ける動詞は" look on A as B"（AをBとしてみなす） の受動態 "be looked on as B" と読み取れます。「労働は～としてみなされている」が和訳の骨格ですね。
ただし、asの前に not が見えることに注意しましょう。このnotの働きはなんでしょうか？どうやら、not A but Bの形が割り込んできているようです。AとBには、
A = something innately good （本質的に良い何か）
B＝a miserable labor divinely imporsed on people as a punishment for sin（罪を償うための罰として、神より人に課された恥ずべき苦役)
Bですが、a miserable laborを、分詞が後ろから修飾しています。impose A on B (AをBに課す) + as ~ (~として) また、divinely は「神の力で」でも良いですが、imposeの意味上の主語として捉えると良いでしょう。
前半訳) 西洋では、労働は本質的に良いものではなく、罪を償うための罰として人々に神から課された恥ずべき苦役であるとみなされいる。
後半を見ていきます。
, freedom from which can be won only by faithfully following the teaching of God.
冒頭に,+関係詞があります。関係詞の非制限用法ですね。直訳では「そこからの自由」となります。これが関係詞節内の主語であり、それを受ける動詞が、can be won「手に入る」な訳です。(wonはwin の過去分詞で、ここでは受動態ですね。)
ただし、only by Ving と続いていますね。「〜することによってのみ、手に入る」と訳していきましょう。
後半訳)そこからの自由は、神の教えに誠実に従うことでしか手に入らない、と思われている。
さて、これで訳ができました。つなげてみましょう。
ありがちなイマイチ和訳）西洋では、労働は本質的に良いものではなく、罪を償うための罰として人々に神から課された恥ずべき苦役であるとみなされおり、そこからの自由は、神の教えに誠実に従うことでしか手に入らない、と思われている。
長くなりましたが、ここからが今回のメイン上達ポイントです。
[和訳上達ポイント解説]
上の訳出、freedom from whichを「そこからの自由は」と訳しました。whichに先行詞を代入すると「神から与えられた苦役からの自由」となりますね。
この日本語、どうでしょう。
文構造を捉えてはいるものの、日本語として入ってき難い、分かりにくい表現になっていませんか？
実は、このfreedom from、熟語be free from (〜から解放される)を名詞に変換した句だと考えて「〜から解放されること」と訳すと非常にしっくり来るものになります。
一度模範訳を見てみましょう。
和訳）西洋では、労働は本質的に良いものではなく、罪を償うための罰として人々に神から課された恥ずべき苦役であるとみなされおり、この苦役から解放されるためには、神の教えに誠実に従うしかない、と思われている。
いかがでしょう。さきのイマイチ訳と比べて、ずっと理解しやすい表現になりました。
freedom fromをbe free fromと変換したように、英語では名詞句で書かれている表現であっても、日本語に訳す際は動詞句に変えて訳すことで自然な表現となることが良くあります。これを「名詞構文」といい、大学受験英語の和訳でよく狙われます。
今回の和訳上達ポイントは、名詞構文に気づき、名詞句を動詞句に変換することでした。
(本文は名詞構文が関係代名詞の応用型に入り込んだ形をしていたため、勉強を積んだ人でも名詞構文だと気付きにくかったのではと思います。)
論説文の中でも、硬い文章になればなるほど、主語や目的語に名詞構文が用いられる文章が増えてきますから、複雑な名詞句や訳し難い名詞表現を見かけたら、名詞構文かと疑って動詞っぽく訳してみましょう。
以下、練習問題で名詞構文演習。
[練習問題]
次の名詞表現を分かりやすく訳せ。
(1) his failure to believe his mother
(2) mothers' sincere sacrifice of themselves to their children
*sacrifce 犠牲(名詞)
[解答]
(1)彼が自分の母親を信じることができないこと
failure to V = fail to V(Vできない)という熟語の名詞形。このように、his/myなどの所有格+名詞句で名詞構文における「意味上の主語」を表せる。
(failure to V を「Vするという失敗」と訳すのは誤り！名詞構文の中でも出題されやすい表現です)
(2) 母親が我が子のために自分達を犠牲にすること
mothers' sincere sacrifice of themselves to their children
sacrifice A to B BのためにAを犠牲にする という熟語を意識した名詞構文。
所有格のmothers' が意味上の主語、
of themselvesが意味上の目的語を表し、sincereは意味上の副詞である。
文に直すと、
Mothers sacrifice themselves to their children sincerely.
(母親が自分達を子のために、献身的に犠牲にすること)
となるので、これを意識した訳を作ること。
直訳だと「母親の自分達自身の献身的な子供への犠牲」となり、意味上の主語や目的語、修飾語のニュアンスが日本語に変換されないので分かりにくい訳になっています。
毎度毎度ですが、訳した後に日本語を吟味するプロセスを挟む習慣をつけましょう！洗練された訳を書こうと意識する中で言語力は養われていくものです。
