2019-07-10

中学生でも解ける大学入試数学５４★★ 1999年大阪大

中学生でも数学

問題
★★

自然数の組(a, b)で、aからbまでの自然数全ての和が500となるようなa, bの組を全て求めよ。ただしa<bとする。

ヒント、着眼点

aからbまでの自然数全ての和は、aとbを用いてどのように表されるのかが重要になりそうです。

さて、このような公式をご存知でしょうか。

1からnまでの自然数全ての和は、

$\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}$

と表される。

この公式の証明のアイデアが、aからbまでの和を求めるのに役立ちそうです。

証明

1からnまでを横にならべ、その下にnから1までを並べる。縦に並んだ2つの数を見ると、どれも和がn+1になっている。この和が $n+1$ である2つの数字の組が $n$ 組あり、それらの和は $n(n+1)$ となる。これは(1からn) 2セット分に相当するから、1からnまでの和は $\frac{n(n+1)}{2}$ となる。下図参照。

f:id:hby:20190608003734j:plain

以下、解答

解答

$\underline{(a,b)=(8,32),(59,66),(98,102)}$

解説

aからbまでの和は、(1からbまでの和)-(1からa-1までの和)と表される。よって、

$\displaystyle \frac{b(b+1)}{2}-\frac{(a-1)a}{2}=\frac{b(b+1)-(a-1)a}{2}$

と表される。これが500と等しいから、

$\displaystyle\frac{b(b+1)-(a-1)a}{2}=500\\ b(b+1)-(a-1)a=1000$

ここで、左辺を因数分解すると、

$b(b+1)-(a-1)a\\=b^2+b-a^2+a\\=b^2-a^2+b+a\\=(b^2-a^2)+(b+a)\\=(b+a)(b-a)+(b+a)\\=(b+a)(b-a+1)$

となる。また、 $1000=2^3\times5^3$ であるから、

$(b+a)(b-a+1)=2^3\times5^3$

となる。 $b+a,\ b-a+1$ の値としてとり得るものを考える。

まず、 $a,\ b$ は自然数だから $b+a＞0...①$ である。よって、積が1000ということから、 $b-a+1＞0...②$ でなければならない。また、明らかに $b+a\geqq b-a+1...③$ である。

$a,\ b$ の偶奇によらず、 $b+a,\ b-a$ の偶奇は一致するから、 $b+a,\ b-a+1$ の偶奇は一致しない...④ つまり、片方が偶数ならば、もう片方は必ず奇数である。

①,②,③,④を考慮すると、考えられる値の組は、

$b+a=1000,\ b-a+1=1\\b+a=200\ \ ,\ b-a+1=5\\b+a=40\ \ \ \ ,\ b-a+1=25\\b+a=125\ \ ,\ b-a+1=8$

これらで全てである。

$\cases{b+a=1000\\b-a+1=1}$

これを解くと $a=b=500$ となって、 $a＜b$ に反する。

$\cases{b+a=200\\b-a+1=5}$

これを解くと $a=98,\ b=102$ となる。

$\cases{b+a=40\\b-a+1=25}$

これを解くと $a=8,\ b=32$ となる。

$\cases{b+a=125\\b-a+1=8}$

これを解くと $a=59,\ b=66$ となる。

以上より、

$\underline{(a,b)=(8,32),(59,66),(98,102)}$

補足

1からnまでの自然数全ての和は、

$\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}$

と表される。

これを使えば、1からa-1までの和は、nにa-1を代入すれば、

$\displaystyle\frac{(a-1)a}{2}$

となります。

$b+a=1000,\ b-a+1=1\\b+a=200\ \ ,\ b-a+1=5\\b+a=40\ \ \ \ ,\ b-a+1=25\\b+a=125\ \ ,\ b-a+1=8$

これらの組をもれなく全て見つけるには、1000の素因数分解の結果を利用します。 $1000=2^3\times5^5$ なので、 $b+a,\ b-a+1$ どちらかに $2^3$ が入ります。偶奇が異なる、ということから、片方に $2^2$ 、もう片方に $2$ という様な振り分けはできません。(どちらも偶数になってしまうため)

$b(b+1)-(a-1)a$ の因数分解は、受験生であればスラスラとできて欲しいところ。

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中学生でも解ける大学入試数学５３ 1998年横浜国立大 - 日比谷高校のススメ

次回

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written by k

2019-06-29

【数学小話】1,2,3,〇,5,...さて、〇に入るのは？

数学小話数学

簡単な問題を出します。

1,2,3,〇,5,...

さて、〇に入るのはいくつ？

いやー簡単ですねぇ。当然答えは2019です。当たり前ですね。

え？答えは4じゃないかって？いやいや。

この数の並びは、

$\displaystyle -\frac{2015}{6}x^4+\frac{22165}{6}x^3-\frac{82615}{6}x^2+\frac{122921}{6}x-10075$

に $x=1,2,3,4,5,...$ を順に代入したものですから。4になるわけがありません。ちなみに6以上を代入すると全然違う数になります。0以下も同様。

茶番終わり

ということで、今回の話は、好きな値を代入して好きな値になるような関数を作る話です。上で登場した4次多項式も、この方法を用いて作りました。

・n個の点を通る多項式

中学2年で、一次関数を習います。ここで、2つの点を通る直線の式を求める方法を習います。2つの点を通る直線の式は、 $y=ax+b$ と書けます。

高校では、3つの点を通る2次関数の求め方を習います。

3つの点を通る式は、 $y=ax^2+bx+c$ と書けるのです。

これを一般化すると、n個の点を通る式は、n-1次多項式で書けるのです。*1

実は、与えられたn個の点を通るn-1次多項式は1つだけ存在します。*2

・中学生的なやり方で求める

ではnが小さい値の時で、具体的にやってみます。

例題

(1,1), (2,4), (4,22)を通る2次多項式を求めよ。

解答

$y=ax^2+bx+c$ とおく。(1,1)を通るから、

$1=a\times1^2+b\times1+c...①$

(2,4)を通るから、

$4=a\times2^2+b\times2+c...②$

(4,22)を通るから、

$22=a\times4^2+b\times4+c...③$

①,②,③を連立して解くと、

$a=1,b=2,c=-2$

よって、

$x^2+2x-2$

この解法に習えば、もし点が4個なら $y=ax^3+bx^2+cx+d$ とおいて、4つの点の座標を代入して4つの式を作り、連立方程式を作って解く。一般に点がn個なら $y=a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}$ とおいてn個の式からなる連立方程式を作れば理論上解けるはずです。

しかし、文字が多くなると連立方程式を解くのが面倒です。そこで、同じ問題で次の方法を見てみます。

例題

(1,1), (2,4), (4,22)を通る2次多項式を求めよ。

さて、唐突ですが、 $(x-2)(x-4)$ というものを考えます。これは、x=1を代入したときは0でない何かになり、x=2,4を代入したときは0になります。

$(x-1)(x-4)$ を考えます。これは、x=2を代入したときは0でない何かになりますが、x=1,4を代入したときは0になります。

$(x-1)(x-2)$ ではどうなるかは書かなくてもわかるでしょう。

この使い勝手の良さを利用して、このように解くことができます。

解法

$y=a(x-2)(x-4)+b(x-1)(x-4)+c(x-1)(x-2)$

とおく。(1,1)を通るから、

$1=a(1-2)(1-4)+0+0$

(2,4)を通るから、

$4=0+b(2-1)(2-4)+0$

(4,22)を通るから、

$22=0+0+c(4-1)(4-2)$

これらから、 $a=\frac{1}{3},b=-2,c=\frac{11}{3}$

これをもとの式に代入して整理すると、

$x^2+2x-2$ となる。

このように、与えられた点のx座標1つをのぞいた全てを代入したら0になるものを用意すると、1回の代入で1つの文字が求まるのです。かなり画期的です。分数がでてきてそれはそれで面倒ですが、連立方程式を解かなくても求められるという点がよいです。

さて、今の解法に、

$1=a(1-2)(1-4)+0+0$

$4=0+b(2-1)(2-4)+0$

$22=0+0+c(4-1)(4-2)$

この3つの式がでてきました。これらをすこしいじれば、

$a=\frac{1}{(1-2)(1-4)}$

$b=\frac{4}{(2-1)(2-4)}$

$c=\frac{22}{(4-1)(4-2)}$

が得られます。すると、 $y=a(x-2)(x-4)+b(x-1)(x-4)+c(x-1)(x-2)$ に代入して、

$\displaystyle y=\frac{(x-2)(x-4)}{(1-2)(1-4)}+4\frac{(x-1)(x-4)}{(2-1)(2-4)}+22\frac{(x-1)(x-2)}{(4-1)(4-2)}$

a,b,cという変数がなくなりました。つまり、最初から求める多項式が形式的に与えられているということです。この式の見た目をよーく観察すると、次のことが言えます。

3点 $(a_1,b_1),(a_2,b_2),(a_3,b_3)$ を通る2次多項式は、

$\displaystyle\large y=b_1\frac{(x-a_2)(x-a_3)}{(a_1-a_2)(a_1-a_3)}+b_2\frac{(x-a_1)(x-a_3)}{(a_2-a_1)(a_2-a_3)}+b_3\frac{(x-a_1)(x-a_2)}{(a_3-a_1)(a_3-a_2)}$

と表される。

最初の項を見ると、1つめのy座標に、ある分数がかけられていて、その分数は、分子が(x-(1つめでないx座標))の積、分母は(1つめのx座標-1つめでないx座標)の積となってます。2つめ以降の項も同様です。

そして、これは点の個数が増えても通用します。では、この記事冒頭のやつをやってみます。

問題

(1,1),(2,2),(3,3),(4,2019),(5,5)を通る4次多項式を求めよ。

解答

公式に当てはめる。

$\displaystyle y=1\frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)}+2\frac{(x-1)(x-3)(x-4)(x-5))}{(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)}\\\displaystyle\ \ \ +3\frac{(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)}{(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)}+2019\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)}\\\displaystyle\ \ \ +5\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)}$

これを整理すると、

$\displaystyle -\frac{2015}{6}x^4+\frac{22165}{6}x^3-\frac{82615}{6}x^2+\frac{122921}{6}x-10075$

となる。

展開して整理するのは気合でやりました。(PCによる計算を併用)

ということで、皆さんもぜひ好きな点を通る多項式を作って遊んでみてください。点の個数が増えすぎると手計算では不可能になるので、規模はほどほどに。

最後に、一般にn+1個の点を通るn次多項式はどう書けるかを見てみます。

ラグランジュ補間

n+1個の点 $(a_0,b_0),(a_1,b_1),(a_2,b_2),...,(a_n,b_n)$ を通るn次多項式 $L(x)$ は次のようにあらわされる。

$\displaystyle\large L(x)=\sum_{i=0}^{n}y_i F_i(x)$

ただし、 $\displaystyle F_i(x)=\prod_{k\neq i}\frac{x-x_k}{x_i-x_k}$