中学生でも解ける大学入試数学２７★★ 1982年名古屋大

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問題
★★

1個のバクテリアが10分後に2個、1個、0個になる確率がそれぞれ $\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{6}$ である。1個のバクテリアが、20分後に2個になっている確率を求めよ。

ヒント、着眼点

10分ごとに個数が変わるチャンスがあるので、今回は2回の分裂(または消滅)のチャンスがあります。20分後に2個になるのに、最初の10分で個数がどう変わり、次の10分でどう変わるかの全パターンを見つけることができれば答えはすぐそこでしょう。

以下、解答

解答

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解説

20分後に2個になるような、最初の10分と次の10分での個数の変化のパターンを全て挙げると、次の2通りの変化のルートが考えられます。

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「10分後2個が20分後2個になる確率」は少しややこしいので丁寧に求めます。

2個のバクテリアをA,Bと名付けたとき、それぞれのバクテリアを注目すると、

①それぞれ個数が変わらない

②③片方が0個になってもう片方が2個になる

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この3パターンが考えられます。

① 1/3×1/3=1/9

② 1/2×1/6=1/12

③ 1/6×1/2=1/12

よって図の四角に入る確率は1/9+1/12+1/12=5/18

これで必要な確率は全て求められました。

1個→2個→2個のルートの確率は1/2×5/18=5/36

1個→1個→2個のルートの確率は1/3×1/2=1/6

よって答えは5/36+1/6=11/36

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written by k