【数学小話】有理数がどれくらい詰まっているかを見る

実数の数直線上にどれくらい有理数が存在するかを考えてみます。言い方を変えれば、有理数はどれくらいぎっしりと詰まっているかを調べてみます。

有理数がぎっしりと詰まっていること、大学以降の数学では有理数の稠密性といいますが、今回はこの性質をいくつかの問題を解きながら体感してみましょう。

アルキメデスの性質
整数部分
有理数に隙間はあるか
発展

アルキメデスの性質

アルキメデスの性質とは、実数の持つ性質の1つを指すものです。文献によってはアルキメデスの原則などと呼ばれることもあります。

物理における浮力の性質を指すものにアルキメデスの原理がありますが、これとは別のものです。

アルキメデスの性質
任意の正の実数 $a,b$ に対して $na＞b$ となる自然数 $n$ が存在する。

この性質は考えてみればごく当たり前に思えるでしょう。この性質の言いたいことは、(0より大きい)どんなに小さな実数も、何倍かすれば好きな数より大きく出来る、ということです。

√2だろうが、0.0000000000000001だろうが、何倍かすればいずれ999より大きくなります。つまりこういうことを主張しているのです。

この具体例を見れば「なんだそんなことか」と思うでしょうが、証明は大学数学レベルで非常に難しいです。(よって省略します)ちなみに証明は背理法を用います。当たり前なことほど証明が難しいというのは数学にはよくあることです。

さて、上記のアルキメデスの性質のb=1の場合をこれから使うことにするので、b=1として少し言い換えたものを性質①と名付けておきます。

性質①
$a＞0$ ならば $na＞1$ となる自然数nが存在する。

0より大きければ(どれだけ小さくても)何倍かすれば1より大きくなる、ということです。もちろん1倍の時点で(つまりaがそもそも)1より大きい可能性もありますが。

さて、もう1つ準備をします。

整数部分

中3の数学で整数部分と小数部分というものが登場したかと思います。

実数 $x$ に対して、 $x$ を超えない最大の整数を、 $x$ の整数部分と呼ぶ。

34.56の整数部分は34で、√5の整数部分は2です。

整数部分は主に高校以上で、このように書かれることもあります。

実数 $x$ に対し、 $n\leqq x＜n+1$ を満たす整数 $n$ を、 $x$ の整数部分という。

さて、この整数部分ですが、どんな実数にたいしても、必ず整数部分が1つに決まることはとても重要です。(これも証明は大学レベル)

これで下準備は以上です。

有理数に隙間はあるか

さて、実数の数直線を考えたとき、 $0,3.14,\frac{123}{456},-\frac{3}{5}$ など、有理数の点はいくらでも見つかります。では、ある有理数の次に大きい有理数は見つかるでしょうか？言い換えると、こうなります。

疑問
数直線上で、この点とこの点の間には有理数は1つもない、というような2つの有理数は存在するのか？

数学の問題っぽく書けば、「異なる有理数 $p,q\ (p＜q)$ で、 $p＜r＜q$ を満たす有理数 $r$ が存在しないようなものは存在するか」となります。

さて、落ち着いて考えればこれは簡単に分かるでしょう。答えはnoですね。証明は背理法で簡単に書けます。要するに $\frac{p+q}{2}$ を考えれば常に間の有理数が見つかるわけですから。

よって、どんなに近い2つの有理数にも、その間にまだ有理数が存在することが示されました。どんな有理数にも、いくらでも近い有理数がとれる、とも言えます。(このいくらでも、というのが重要で、これが最も近い有理数だ！という数がとれない、ということを意味しているのです。 $\frac{p+q}{2}$ を考えてください)

さて、有理数 $p,q$ を考えましたが、この2数を実数に変えても同様の主張が成り立ちます。すなわち、どんな異なる2つの実数を持ってきても、その間に有理数が見つかるのです。このことを有理数は実数において稠密であると言います。これが有理数の稠密性と呼ばれるものです。

有理数の稠密性
任意の実数 $x,y\ (x＜y)$ に対して $x＜r＜y$ を満たす有理数 $r$ が存在する。

では証明してみましょう。

(証明)

$x＜y$ は $y-x＞0$ と書け、ここで性質①を用いれば、
$n(y-x)＞1\dots②$
を満たす自然数 $n$ が存在する。②を変形すれば、
$nx+1＜ny\dots③$
ここで、 $nx+1$ の整数部分を $m$ とすれば、
$m\leqq nx+1＜m+1\dots④$
が成り立つ。この不等式の右側 $nx+1＜m+1$ の両側から1引いて、
$nx＜m$
となるから、④の左側と合わせて、
$nx＜m\leqq nx+1$
③より
$nx＜m\leqq nx+1＜ny$
すなわち
$nx＜m＜ny$
よって
$x＜\frac{m}{n}＜y$

従って、 $\frac{m}{n}$ が求める有理数である。

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絵にすると、このようになります。xとyがいくら近くても、nを見つけてnxとnyの差が1より大きくできます。するとnxとnx+1の間に(差が1以上開いているから)整数mが1つ見つかります。すると $nx＜m＜ny$ となって $x＜\frac{m}{n}＜y$ となるわけです。
これが証明でした。大学レベルでやや難しかったですね。

これで有理数の稠密性、つまり実数のなかに有理数がぎっちり詰まっていることがよく分かったかと思います。

発展

実は、このxとyの間に有理数がいくらでも見つかる(無限個存在する)ことも証明できます。証明は難しいですが、エッセンスは今までの内容に散らばっているのでぜひ考えてみて下さい。

先ほどの証明を改めて見れば、アルキメデスの性質がとても重要な役割を果たすことが分かります、実はアルキメデスの性質を使えばこのようなことも言えます。
・√2より小さい有理数を考えたとき、その中で最大のものを取り出すことは出来ない

さて、実数には有理数がぎっしりと詰まっていることが分かりましたが、無理数もぎっしりと詰まっていることが証明出来ます。実は、実数において有理数より無理数の方が"多い"ことも証明できます。

今回はここまで。

written by k

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有理数に隙間はあるか

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