2018年開成中学算数の良問、高校生でも難しい

今年、2018年の開成中学の算数の入試問題で、とても考えさせられる良問が出題されました。当ブログの記事にある、約数や互いに素の考えを用いて解く問題で、非常に考えさせられます。約数などに関する記事はこちら。

hibiyastudy.hatenablog.com

高校受験、大学受験の問題風に問題文を書き換えていることをご了承ください。ここでは、中学生や高校生の知識をふんだんに使って解きます。

ある自然数の2乗を3つ以上の連続する整数の和で表すことを考える。例えば、2+3+4=3²、11+12+13=1+2+3+4+5+6+7+8=6²など。以下、このように複数の表し方があれば、全て答えよ。

(1) 7²を3つ以上の連続する自然数の和で表せ。

(2) 10²を3つ以上の連続する自然数の和で表せ。

(3) 30²を3つ以上の連続する自然数の和で表す方法は何通りあるか。また、それぞれいくつの連続する自然数の和で表されるか。

(1) 連続する整数の和の公式なるものがあり、中学受験をする子供は必ず習います。これは高校でも習うことです。

(初項+末項)×個数÷2

初項は最初の数、末項は最後の数です。

1+2+3+4+5+6+7+8=36ですが、これを公式に当てはめて確かめてみると、(1+8)×8÷2=36となり、この公式が確かに成り立っています。証明をしましょう。

aから(a+n-1)のn個の連続した整数の和をS=a+(a+1)+(a+2)+...+(a+n-1)とする。

Sを正順と逆順で足すことで、2a+n-1がn個作られるのです。この2a+n-1は、最初の整数aと最後の整数a+n-1の和です。つまり、最初の整数(初項)と最後の整数(末項)の和にn(個数)をかけたものが2Sであるので、このようにして公式が導かれます。

さて、問題を解きましょう。

7²=49を3つ以上の連続した整数の和で表すとするとどうなるか。

n個の数字を足すとし、(最初の数字+最後の数字)をaとします。(先ほどの公式の証明とは違う値をaとしているのに注意)すると、このようになるはずです。n≧3であることに注意しましょう。

a×n÷2=49

この式は公式そのままですね。これを変形し、

a×n=2×7×7

 この式をもとにa,nの組をしぼっていきます。

 nは3以上なので、右辺をみるとn=7しかありえません。(n=14,49がだめな理由は(2)の解説を読んでいただければわかると思います。)そうするとa=14

です。よって4+5+6+7+8+9+10=7²と分かります。

(2) (1)と同様に式を組み立てると、

a×n=2×10×10=2³×5²

 nは3以上であることから、nとaの組の候補は以下に絞れます。

(n,a)=(4,50),(5,40),(8,25),(10,20),(20,10),(25,8),(40,5),(50,4),(100,2),(200,1)

ここで、この組すべてが答えとはなりません。第一の絞り込みを行います。

例えば、(n,a)=(4,50)は答えとなりえるのでしょうか。

a=50であれば、最初の整数と最後の整数の偶奇が一致していないといけません。

(2つの整数の偶奇が一致するとは、どちらも偶数か、どちらも奇数であることをいいます。)

しかし、n=4であることから、最初の整数と最後の整数の偶奇は一致しません。(具体的な数字を考えればわかります。1,2,3,4,など)つまりこの組は答えとなりえません。

ここまでの考察をすれば、まず答えとなる組の条件として、aとn自体の偶奇が一致していないというものがあると分かります。ここで残るものは

(n,a)=(5,40),(8,25),(25,8),(40,5),(200,1)

次の絞り込みに移ります。まず、明らかに(n,a)=(200,1)はありえないと分かります。a=1とは、最初と最後の数字を足したら1という意味です。

実は、答えとなりうるnとaについて、次のことがいえます。

a>n

なぜなら、例えばn=3の時、1,2,3でa=4、3,4,5でa=8というように、a>3となります。aの最小値をとるものは1からスタートする連続する整数の和を求める時であり、そのときのaがn+1となるからです。

これをもとに絞り込むと

(n,a)=(5,40),(8,25)

よって答えは

18+19+20+21+22=9+10+11+12+13+14+15+16=10²

 (3) 「いくつの連続する数字が使われるか」を求めればよい、という問題文から、答えはそこそこの数の通りがあり、全てのパターンにおいて連続する数字が実際にいくつからいくつかを求めるのは大変だということが推測できます。

(1) a×n=2×30×30=1800=2³×3²×5²

(2) aとnの偶奇が一致しない

(3) a>n

この3つの条件からaとnの組をすべて求めていきます。効率よく求めるためにはどうすればよいかを考えつつ絞ります。

nが奇数のときa=2³×(奇数)となることに気づくと、比較的楽に組が求められます。

nが奇数のとき(n,a)=(25,72),(15,120),(9,200),(5,360),(3,600)

nが偶数のとき(n,a)=(40,45),(24,75),(8,225)

ということで答えは、8種類の方法があり、それぞれ3,5,8,9,15,24,25,40個の連続した自然数の和で表される。

中学入試の整数の性質に関する問題はよく考えさせられるものが多いです。

今回は以上となります。さまざまな入試問題を解説するシリーズはこれからも不定期で行いたいと思います。

written by k