日比谷高校のススメ

日比谷高校出身者たちが日比谷高校の紹介や、勉強に関する様々なことを語ります。

【数学小話】入試問題の背景に隠れる大学数学①

数学小話数学大学受験大学数学

↓ここからカテゴリー別に記事を見ることができます。↓

入試問題には、大学数学の内容を高校数学に持ってきたかのような問題がたまに見られます。もちろん、受験生が大学数学の背景を知っている必要は全くありませんが、せっかくなので見ていきましょう。受験勉強の息抜きにでも見ていってください。

第一回　この記事

第二回　こちら

第三回　こちら

問題
解答
背景

初回は数Ⅲの演習レベルの問題から。

問題

(1) $x\geqq0$ のとき、 $\cos{x}\geqq1-\dfrac{x^2}{2}$ を示せ。

(2) $x＞0$ のとき、 $e^x＞1+x+\dfrac{x^2}{2}$ を示せ。

解答

(1) $f(x)=\cos{x}-(1-\dfrac{x^2}{2})$ とする。

$f'(x)=-\sin{x}+x,\ f''(x)=-\cos{x}+1$

$-1\leqq\cos{x}\leqq1$ より $f''(x)\geqq0$ だから、 $f'(x)$ は単調増加する。

さらに $f'(0)=0$ より $x\geqq0$ で $f'(x)\geqq0$ だから、 $f(x)$ は単調増加する。

また、 $f(0)=0$ より $x\geqq0$ で $f(x)\geqq0$

したがって $\cos{x}\geqq1-\dfrac{x^2}{2}$

(2) (1)と同様。

背景

大学数学の微積の範囲で、テイラー展開、マクローリン展開というものを習います。これはいわば関数を多項式 $a_0+a_1x+a_2x^2+\dots$ で近似することです。関数をx=0を中心に近似するものがマクローリン展開で、他の一般の点のまわりの近似をテイラー展開といいます。よく知られているマクローリン展開の結果は以下があります。

$\sin{x}=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\dots+\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+\dots$

$\cos{x}=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\dots+\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+\dots$

$e^{x}=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dots+\dfrac{x^{n}}{n!}+\dots$

$\log{(1+x)}=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\dots+\dfrac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}+\dots\ (-1＜x\leqq1)$

$\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\dots+x^n+\dots\ (-1＜x＜1)$

関数を近似するとは何でしょうか。以下のグラフを見てみましょう。*1

f:id:hby:20210216154042p:plain

x軸付近の黒曲線がsinxです。上に書いたsinxのマクローリン展開の式

$\sin{x}=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\dots+\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+\dots$

において、右辺の項を伸ばせば伸ばすほど、そのグラフはsinxに近づいていきます。

$y=x$ が赤線

$y=x-\dfrac{x^3}{3!}$ がオレンジ

$y=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}$ が黄色

$y=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}$ が黄緑色

…

という風に、項を増やせば増やすほど、グラフはsinxに近づいていきます。そして、項を増やせば増やすほどx=0から離れた場所でもグラフが近づいていき、その極限はsinxになります。

今回取り上げた問題の関数は、このマクローリン展開の式を途中で切ったものだったのです。つまり、何の脈略もなく出てきた関数ではなく、理論的に重要な関数だったのです。

$\log{(1+x)}$ や $\dfrac{1}{1-x}$ の式の最後にxの範囲が書いてありますが、これは無限和が収束する範囲のことで、この範囲でないと無限和が一致しません。簡単にいえば、その範囲ならこの式が成り立つ、ということです。

大学数学の微積では、極限や無限和などについての扱いを根本から見つめなおすことをします。理論の厳密性をさらに追い求めるわけです。

例えば極限において、「hを限りなく0に近づける」とはどういうことか？数学的に厳密な言葉とは言えませんよね。0に近づける方法によらないのでしょうか。どんな近づけ方をしてもいいのか。こういったことを大学数学でまず学ぶことになります。

written by k

*1:画像はwikipediaより

Copyright © 2017 日比谷高校のススメ All rights reserved.