2019-03-20

中学生でも解ける大学入試数学４６★★ 2011年日本工大

中学生でも数学

問題
★★

$a^2+b^2=13, a^4+b^4=97$ のとき、 $a^3+b^3$ の値を求めよ。ただし、 $a+b＞0, ab＞0$ とする。

ヒント、着眼点

対称式

対称式とは、変数を入れ替えても変わらない多項式のことをいいます。

中学数学でも言葉は習わずに少しだけ登場します。

例えば、これらが対称式です。

$x+y,\ x^2+3xy+y^2,\ a+b+c,\ a^2+b^2+c^2+abc$

文字が2つのときはその2つを入れ替えても変わらない、3つのときはその3つをどう入れ替えても変わらないものが対称式です。

対称式の重要な性質として、どんな対称式も基本対称式で表すことができるというものがあります。

基本対称式

文字2つ $(x,y)$ 　 $x+y$ と $xy$

文字3つ $(x,y,z)$ 　 $x+y+z$ と $xy+yz+zx$ と $xyz$

例

$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$

$\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}$

$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)$

$\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}$

この問題では、登場する $a^2+b^2,\ a^4+b^4,\ a^3+b^3$ はすべて対称式です。まずは $a^2+b^2$ を基本対称式で表しましょう。

$(a+b)^2-2ab=a^2+b^2$ ですね。

以下、解答

解答

解説

$a^2+b^2=13...①, a^4+b^4=97...②$

①の両辺を2乗すると、

$a^4+2a^2b^2+b^4=169...③$

ここで、③に②を代入すると、

$97+2a^2b^2=169\\2a^2b^2=72$

$ab＞0$ だから、 $ab=6$

$(a+b)^2-2ab=a^2+b^2$ より、①は、 $(a+b)^2-2ab=13$ となる。

$ab=6$ を代入して、

$(a+b)^2-12=13\\(a+b)^2=25$

$a+b＞0$ だから、 $a+b=5$

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$

より、

$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=5^3-3\times6\times5=\underline{35}$

補足

対称式の問題はこのように、基本対称式の値に注目するのがセオリーです。

ちなみに、a+b=5,ab=6だったので、aとbは2と3ということがわかります。この問題はaとbの大小について書かれていないので、どっちが2でどっちが3かは分かりませんが。もちろん、どっちがどっちだろうと問題の答えには影響ありません。

前回

中学生でも解ける大学入試数学４５ 2002年関西大 - 日比谷高校のススメ

次回

中学生でも解ける大学入試数学４７ 1999年神戸大 - 日比谷高校のススメ

written by k

2019-03-20

【数学小話】ほんとうに0.999...=1なのか②　本当の説明

数学小話数学

前回はこちら

【数学小話】ほんとうに0.999...=1なのか① 1/3を使う証明は間違い？

0.999...=1

これがなぜ正しいのか、そもそもこの式の意味は何なのか、ということを説明するという目的のこのシリーズ。前回は中学生向けとしてよく見られる証明を紹介しました。今回は、高校の理系レベルの数学に触れつつ、この式の適切な説明、解釈を話します。

極限
0.999...=1の意味
0.999...の一番の誤解？
等比級数による証明

極限

極限というのは、高校３年理系が習う数IIIに登場する単元です。記号の意味を理解すれば、中学生でも十分今回の話は理解可能です。

極限は、一言で言うと、「限りなくこうなる」というものです。

$\displaystyle\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\dots$

このように数を並べていくと、登場する数はどんどん小さくなっていきます。また、分母も分子も常に正ですから、登場する数はどこまでいっても負になりえません。

ここに登場する値は、先にいけばいくほど、値が限りなく0に近づくことは直感でわかると思います。その0に近づくということを例えばこのように書きます。

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0$

この式の意味は、nの値を正の無限大に持っていくと、 $\displaystyle\frac{1}{n}$ の値は限りなく0に近づいていく、ということです。limは「リミット」と読み、極限を表す記号です。

f:id:hby:20190306191136g:plain

このgifは1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,...と、分母を2倍していったときの点の移り変わりを示したものです。これをみれば、0に収束することが視覚的に分かります。

このように、「限りなくこうなる」という極限特有の考え方を使うと、0.999...=1を適切に理解できます。

0.999...=1の意味

0.9

0.99

0.999

0.9999

...

0.9999999999999999999999

...

このように、小数点以下に9をつけ足していけば、その値は大きくなっていきます。9を付ければ付けただけ数はどんどん大きくなりますが、決して1は超えません。しかし、9をつけ足すことを際限なく繰り返していくと、その値は限りなく1に近づくのです。

0.9, 0.99, 0.999, ...と9をつけ足していくとある値に近づく。そこで、9を限りなく多くした状態を0.999...と書き、その限りなく近づく値こそが1であり、それを0.999...=1と書く。

これが結論です。世の中の0.999...≠1と言っている人に向かってこの言葉を突き付けてください。日常会話レベルならこの程度の説明で十分でしょう。

数学の用語を使えば、このようにも言えます。

0.9, 0.99, 0.999, ...という数列は1に収束する。

0.999...の一番の誤解？

1と2は違う数、1.0000023と1.0000022は違う数、というように、違う書き方をされたら違う数である、というのは当然の感覚で、それは間違っていません。

0.9999999999999999999と1は違う数です。これは9の個数に関係なく成り立つことで、たとえ小数点以下に9を9999億個ならべたとしても、9をいくつ増やしていっても1と等しくありません。これはれっきとした事実で正しいことです。しかしこれは0.999...=1が成り立たないという指摘にはなりえません。

間違った考え方

0.9≠1である。

0.99≠1である。

0.999≠1である。

...

0.99999999999999999999999999≠1である。

9をどこまで増やしていっても1と等しくなることはない。よって、

0.999...≠1

これの何がダメかというと、有限と無限の違いを無視しているのがダメです。

「よって、」の前に書いてある内容は、9が有限個なら1と等しくないという内容です。もちろんこれは正しです。しかし、いくら有限個で成り立つ例を持ってきたところで、9が「無限個並んでいる」0.999..が1と等しくないということは導けません。有限で成り立っていたから無限でも成り立つわけではないのです。

等比級数による証明

9をつけ足す、という表現が数学的にちゃんとしていないのが気になる人向け。
理系高校3年で習う等比級数というものがあります。このような公式があります。
$\displaystyle |r|＜1\ のとき\ a+ar+ar^2+ar^3+\dots=\frac{a}{1-r}$

ここで、
$\displaystyle0.9=\frac{9}{10}$
$\displaystyle0.99=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}$
$\displaystyle0.999=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}$
と表されることを利用して、a=9/10, r=1/10を代入すると、
$\displaystyle0.999\cdots=9(\frac{1}{10})+9(\frac{1}{10})^2+9(\frac{1}{10})^3+\cdots\\\displaystyle=\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}\\=1$

この等比級数の公式はもともと極限の考えを用いて導かれるものです。どちらにせよ、0.999...=1をしっかり説明しようとするとどうしても極限が必要になるのです。

このシリーズはここまで。無限小数は奥が深いのです。

written by k

2019-03-17

日比谷高校漢字講座 Part2

日比谷高校高校受験国語

第一問次の漢字の読みを答えよ。

1. 督促状を受け取る。

2. 実のない話だ。

3. 日本画に対する造詣が深い。

4. 期末レポートに忙殺される。

5. 書類の山に埋没する。

第二問次のひらがなを漢字に直せ。

1. プロジェクトがなんこうする。

2. 世界じょうせいを伺う。

3. 本業をおろそかにする

4. 巧みな話術をかんぱする。

5. しゅうじんかんしの状況

以下、答えになります。

第一問

1. とくそくじょう

2. じつ

3. ぞうけい

4. ぼうさつ

5. まいぼつ

第二問

1. 難航

2. 情勢

3. 疎か

4. 看破

5. 衆人環視

今回の語彙で分からないものがあれば、適宜調べて使えるようにしましょう。

では、また次回。

前回

日比谷高校漢字講座 Part1 - 日比谷高校のススメ

次回

日比谷高校漢字講座 Part3 - 日比谷高校のススメ

written by Akky