日比谷生からの挑戦①解答

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問1.  30²⁰¹⁸の桁数を求めよ。ただし、必要ならばlog₁₀3 = 0.4771を用いてもよい。

問2. 30²⁰¹⁸と2018³⁰はどちらの方が大きいか。また、桁数はどれくらい違うのか。ただし、log₁₀2 = 0.3010とする。

問3.(研究) 30^x=2018^yとなるx,yの組を一般的に求めることは出来るのか。

問1. 30²⁰¹⁸を10を底とする対数をとって、

log₁₀30²⁰¹⁸ 

= 2018 log₁₀30

= 2018( log₁₀10+log₁₀3)

= 2018(1+0.4771)

=2980.7878

よって2981桁

問2. 2018³⁰を10を底とする対数をとって、

log₁₀2018³⁰

= 30log₁₀2018

= 30(log₁₀2+log₁₀1009)

ここで、log₁₀2≒0.3010、log₁₀1009≒log₁₀1000=3であるから、

30(0.3010+3)

= 99.030

よって2018³⁰は100桁

問3. (研究) 30^x=2018^y...①を先ほどと同じようにして、

xlog₁₀30=ylog₁₀2018

問1、問2で用いた近似値を使い、

1.4771x=3.3010y...②

これを満たすようなx,yの組であれば30^x=2018^yが成り立つ。

実は、①を満たす有理数の組はない(※)が、②を満たす有理数の組なら求められる。

たとえば(x,y)=(3.3010,1.4771)など。

実際に同じ値になるのか。

30^3.3010≒7.5158×10⁴

2018^1.4771≒7.6155×10⁴

すこし値のずれが生じた。(相対誤差1~2%)

このずれの原因はlogの近似値を小数点以下4桁までとしたことやlog₁₀1009≒log₁₀1000=3としたことによると考えられる。

log₁₀3 = 0.4771とlog₁₀2 = 0.3010のように有効数字を4桁とする一貫性を保つためにlog₁₀1009≒3.004とすれば、(x,y)=(3.3014,1.4771)となり、

30^3.3014≒7.5261×10⁴

2018^1.4771≒7.6155×10⁴

すこしだけ差が縮まった。

今回の問題は、logに関する基本的な知識のみで解ける、標準的な問題だったと思います。

計算に利用したサイト

高精度な高等関数が使えるフリー計算

(※)①を満たす有理数の組はないことの証明は、

xlog₁₀30=ylog₁₀2018を変形し、

y=x(log₁₀30/log₁₀2018)=x(log₂₀₁₈30)

ここで、log₂₀₁₈30が無理数であることを示せばよい。それは有名な「log₁₀2が無理数であることの証明」と同様の手順で示すことができます。