日比谷生からの挑戦③ 平成31年(2019年)にまつわる問題

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受験生の頃から、年末になると次の西暦、年号の数が登場する問題を作るようになるのがおきまりとなっています。今回はそんな筆者が作った問題の一部を出そうと思います。

それぞれの問題に、どこまでの知識が必要かが書かれています。難易度は順に、

1 中学数学

2 中学数学(発展)

3 数A

4 数II

5 数III(発展)

となっています。

問題

1 中学数学

(1) (a-1)⁵を展開せよ。

(2) 2019⁵の下3桁を答えよ。

2 中学数学(発展)

√2019の整数部分をa,小数部分をbとする。

(1) aとbを求めよ。

(2) $\displaystyle \frac{83}{a}+\frac{83}{b}$ の値を求めよ。

(3) a²⁰¹⁹-b²⁰¹⁹の1の位の数字を求めよ。

3 数A

2019²⁰¹⁹を31で割った余りを求めよ。

4 数II

2019³¹の下3桁を求めよ。

5 数III(発展)

$\displaystyle z$ は複素数で、 $\displaystyle z=\cos(\frac{2\pi}{2019})+i\sin(\frac{2\pi}{2019})$ とする。

(1) $\displaystyle z+z^2+z^3+\dots+z^{2018}$ を求めよ。

(2) $\displaystyle (z-1)(z^2-1)(z^3-1)\dots(z^{2018}-1)$ を求めよ。

(3) $\displaystyle \frac{1}{z-1}+\frac{1}{z^2-1}+\frac{1}{z^3-1}+\dots+\frac{1}{z^{2018}-1}$ を求めよ。

1週間後くらいに解答を載せます。

written by k

日比谷高校のススメ