中学生でも解ける外伝 高校入試難問３５★ 灘高

★　　...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら完答できるべき。

★★　...出題校ぐらいのレベルの高校志望なら半分くらい解ければ十分。

★★★...難しすぎる、いわゆる捨て問。

問題

★

次の図で、AB=40,AC=30,BD=20である。

(1) AE:BEを求めよ。

(2) AEを求めよ。

ヒント、着眼点

高校入試で2つの線分の長さの比を問われた時は、2つの三角形の面積比から持ってくるか、相似な2つの三角形の相似比から持ってくることが多いです。 

灘高校だからとうろたえる必要はありません。 相似な2つの三角形を見つけてください。

以下、解答

スポンサーリンク

解答

(1) 3:2

(2) 36√3-12√7

解説

(1)

△AEC∽△BEDである。(直角より∠ACE=∠BDE、対頂角より∠AED=∠BED、2組の角がそれぞれ等しい。)

相似比は、AC:BE=3:2

よってAE:BE=3:2

(2)

(1)より、AE=3x,BE=2xとおく。

△ABDで三平方の定理より、AD=20√3

△ABCで三平方の定理より、BC=10√7

よって、CE=10√7-2x,DE=20√3-3xであるから、

3:2=(10√7-2x):(20√3-3x)を解いて、

x=12√3-4√7

AE=3x=36√3-12√7

補足

この問題の図を見たら、円周角の定理の逆が適用できることに気づきましょう。2つの直角三角形の斜辺が共通しているので、その斜辺が直径となるような円が描けます。

以下のような円が描けます。(下の図は微妙にうまく描けていないですが)

 ↓ 前回と次回

中学生でも解ける外伝 高校入試難問３４ 慶應志木高 - 日比谷高校のススメ

中学生でも解ける外伝 高校入試難問３６ 巣鴨高 - 日比谷高校のススメ

written by k