日比谷生からの挑戦③ 解答その①

解答がそこそこ長くなりそうなので、1,2,3と4,5の解答で2つの記事にわけます。

後半はこちら

1 中学数学

(1) (a-1)5を展開せよ。

(2) 2019⁵の下3桁を答えよ。

解答１

(1) まじめに計算すればよいでしょう。

$\displaystyle (a-1)^5=a^5-5a^4+10a^3-10a^2+5a-1$

(2) (1)の答えの式にa=2020を代入すると、

$\displaystyle (2020-1)^5=2020^5-5\times2020^4+10\times2020^3-10\times2020^2+5\times2020-1$

つまり、

$\displaystyle (2019)^5=2020^5-5\times2020^4+10\times2020^3-10\times2020^2+5\times2020-1$

ここで、右辺のそれぞれの項の下3桁を考えると、

$\displaystyle 2020^5=(202\times10)^5=202^5\times10^5$ より下3桁は000

$\displaystyle 5\times2020^4=5\times(202\times10)^4=5\times202^4\times10^4$ より下3桁は000

$\displaystyle 10\times2020^3=10\times(202\times10)^3=202^3\times10^4$ より下3桁は000

$\displaystyle 10\times2020^2=10\times(202\times10)^2=202^2\times10^3$ より下3桁は000

よって最初の4項は下3桁が000である数なので、最後の2項の $\displaystyle 5\times2020-1$ のみを考えればよい。5×2020-1=10099より、099

解説１

(1) これは慎重に計算すれば必ず正解できるはずです。が、ここでは別解として、次を紹介します。

パスカルの三角形と(x+y)ⁿの展開

パスカルの三角形は、非常に簡単なルール書くことができます。

ルール:右上と左上の数字の和を書く

f:id:hby:20181128002646j:plain

一番上の1から初めて、どんどん下の段を追加していきます。上にある2つの数字の和を書いていきます。画像は6段までを表したものです。

パスカルの三角形の重要な性質の1つとして、パスカルの三角形のn+1段と(x+y)ⁿの展開した式の各係数が同じになるというものがあります。

f:id:hby:20181128004103j:plain

また、(x+y)ⁿの項を左から順に見ていくと、xの次数が1つ減ると同時にyの次数が1増えていて、どの項もxとyの次数の合計はnに一致します。

よって、(a-1)⁵を展開せよと言われたら、パスカルの三角形を6段まで書いて、「1 5 10 10 5 1」を得たら、xとyにそれぞれaと-1を代入していけばよいのです。

1とaの5乗でa5

5とaの4乗と-1の1乗で-5a4

10とaの3乗と-1の2乗で10a3

10とaの2乗と-1の3乗で-10a2

5とaの1乗と-1の4乗で5a

1と-1の5乗で-1

これらをつなげて、

a5-5a4+10a3-10a2+5a-1

(2)　(1)がa-1という形なので、2019=2020-1とすることに気づけたのであれば答えに近づきます。

下3桁なので、1000で割り切れる項は具体的に計算する必要がありません。

2 中学数学(発展)

√2019の整数部分をa,小数部分をbとする。

(1) aとbを求めよ。

(2) $\displaystyle \frac{83}{a}+\frac{83}{b}$ の値を求めよ。

(3) a²⁰¹⁹-b²⁰¹⁹の1の位の数字を求めよ。

解答２

(1)

$\displaystyle 44^2=1396,\ 45^2=2025$ より、

$\displaystyle a=44,\ b=\sqrt{2019}-44$

(2)

$\displaystyle a+b=\sqrt{2019}$ に注意して、

$\require{cancel}\displaystyle \frac{83}{a}+\frac{83}{b}\\\displaystyle=\frac{83(a+b)}{ab}\\\displaystyle=\frac{83\sqrt{2019}}{44(\sqrt{2019}-44)}\\\displaystyle=\frac{83\sqrt{2019}(\sqrt{2019}+44)}{44(\sqrt{2019}-44)(\sqrt{2019}+44)}\\\displaystyle=\frac{83\sqrt{2019}(\sqrt{2019}+44)}{44\times(2019-44^2)}\\\displaystyle=\frac{\cancel{83}\sqrt{2019}(\sqrt{2019}+44)}{44\times\cancel{83}}\\\displaystyle=\frac{\sqrt{2019}(\sqrt{2019}+44)}{44}\\\displaystyle=\frac{2019+44\sqrt{2019}}{44}$

(3)

a=44より、a,a²,a³,...の1の位のみに注目すると、

4,6,4,6,...となるから、a²⁰¹⁹の1の位の数字は4

$\displaystyle 0＜b＜1$ なので、 $\displaystyle 0＜b^{2019}＜1$

よってa2019-b2019の1の位の数字は3

解説2

(3)

a²⁰¹⁹は○○○○4という整数で、

b2019は0.○○○...という小数なので、

a2019-b2019は○○○○3.○○○...という数になります。

3 数A

2019²⁰¹⁹を31で割った余りを求めよ。

31を法とした合同式で考える。

$\displaystyle 2019\equiv4\pmod{31}\\\displaystyle2019^3\equiv64\equiv2\pmod{31}\\\displaystyle(2019^3)^5\equiv2^5\equiv32\equiv1\pmod{31}$

つまり、

$\displaystyle 2019^3\equiv2\pmod{31}\\\displaystyle2019^{15}\equiv1\pmod{31}$

よって、

$\displaystyle 2019^{2019}\\\displaystyle\equiv(2019^{15})^{134}\cdot2019^9\\\displaystyle\equiv2019^9\\\displaystyle\equiv(2019^3)^3\equiv2^3\equiv8\pmod{31}$

よって答えは3

written by k

日比谷高校のススメ

日比谷高校出身者たちが日比谷高校の紹介や、勉強に関する様々なことを語ります。

日比谷生からの挑戦③ 解答その①