おそらく日本人のほぼすべての人が初めて知る無理数であるπ。これは円周率のことで、円の直径と円周の長さの比を表す値です。 我々は数学の時間に、円や扇形の問題で何度もπを目にします。πの本来の定義からして、幾何学でπを目にするのはある種の必然だと言…
ミル定数という定数をご存知でしょうか。ミル定数とは、素数と興味深い繋がりがある、とある実数の定数です。1946年にMillsが見つけました。 A=1.3063778838... この2にも満たない値を使って、次のような式を考えます。 ここで、とは、実数xを超えない最大の…
問題★ 下の図のような道のある地域で、次のような最短の道順は何通りか。 (1) AからBまで行く道順(2) AからCを通ってBまで行く道順(3) AからCを通らずにBまで行く道順(4) AからCを通ってDを通らずにBまで行く道順 ヒント、着眼点 私立の高校入試でもこういっ…
かつてゆとり教育という政策により、「2002年度実施の小学校学習指導要領の改訂にともなって、日本の算数教育にてそれまで3.14と教えていた円周率を3と教えることになった」という噂が流れました。これは間違っているのですが、訂正されることなく広まり、大…
入試問題には、大学数学の内容を高校数学に持ってきたかのような問題がたまに見られます。もちろん、受験生が大学数学の背景を知っている必要は全くありませんが、せっかくなので見ていきましょう。ついに第3回。 第一回 こちら 第二回 こちら 第三回 この記…
入試問題には、大学数学の内容を高校数学に持ってきたかのような問題がたまに見られます。もちろん、受験生が大学数学の背景を知っている必要は全くありませんが、せっかくなので見ていきましょう。受験勉強の息抜きにでも見ていってください。 第一回 こち…
入試問題には、大学数学の内容を高校数学に持ってきたかのような問題がたまに見られます。もちろん、受験生が大学数学の背景を知っている必要は全くありませんが、せっかくなので見ていきましょう。受験勉強の息抜きにでも見ていってください。 第一回 この…
あけましておめでとうございます。2021年もどうにかブログを続けようと思います。今年もよろしくお願いします。 2021は43×47と素因数分解できることは有名でしょう。高校入試に出てもおかしくないレベルです。 2021=2025-4=452-22=(45+2)×(45-2)=47×43 さて…
数オリの過去問から、お手軽な整数問題を一つ。 問題★★ どの桁も素数であるような自然数を良い数という。3桁の良い数であって、2乗すると5桁の良い数になるものを全て求めよ。 ヒント、着眼点 ここでの良い数というのはこの問題だけの呼び方であり、別によく…
大学の数学というのは分野が非常に細分化されており、その1つを究めるだけで精一杯、という世界です。その中でも筆者が現在関心のある分野である結び目理論について、中学生でも理解できる言葉だけ（たまに外れるかもしれません）で、その面白さを説明してみ…
中学2年で連立方程式を習い、そこで割合と絡めた問題として、次のような問題がよく出ます。誰もが何度も目にしたことがあるでしょう。 ある学校の昨年の入学者は男女合わせて500人だった。今年は昨年に比べて、男子が3%減り、女子は2%増えたので、入学者は計…
ここでは、不定期で僕の出会った難しい英文を紹介していきます。 第1回 英文解釈の難問① 第2回 英文解釈の難問② レベル：難関大で差がつく 次の英文を和訳せよ。 In the West, work is looked on not as something innately good but as a miserable labor d…
実数の数直線上にどれくらい有理数が存在するかを考えてみます。言い方を変えれば、有理数はどれくらいぎっしりと詰まっているかを調べてみます。 有理数がぎっしりと詰まっていること、大学以降の数学では有理数の稠密性といいますが、今回はこの性質をいく…
今年の東大文系から、場合の数の問題です。 問題★★ 8本の直線x=1,x=2,x=3,x=4,y=1,y=2,y=3,y=4がある。これらの直線の16個の交点から5個を選ぶことを考える。 次の条件を満たす5個の点の選び方は何通りか。 (1) 上の8本の直線のうち、選んだ点を1個も含まな…
大学入試で出る積分の問題は、当たり前ですが高校までの知識で求められる積分しか出ません。今回は大学以上の知識で求められる有名な積分を見てみます。また、高校数学の範囲を超えている部分をうまいこと避けて入試問題が作られる場合がありますから、その…
今回は、ツイッター社のツイートを利用した英文解釈クイズを用意しました。 [問題] 以下のツイートを正しい日本語に訳せ。*drink お酒を飲む Don't drink and Tweet — Twitter (@Twitter) January 11, 2020 [正解] 飲みながらツイートするな！ （別解：お酒…
前回はなかなか難しい話題でした。今回は前回より少しとっつきやすい話題、フラクタル図形についていくつか見てみます。後で述べますが、有名なシェルピンスキーのギャスケットと呼ばれる図形は"およそ1.58次元の図形"と言うことが出来ます。そんな話につい…
前回はそこまででしたが、今回はディリクレの関数のように、本当の意味で病的な話になります。 数学における直線の扱いで「太さ、幅をもたない」という特徴がありますよね。この直線を何回も折り曲げたり曲げたりして出来たものが（幅のある）領域を埋め尽く…
今回は前回までの解析から趣向を変えて、ちょっと不思議な話を見てみます。 簡単？な因数分解 不思議な因数分解 円分多項式 簡単？な因数分解 まずは簡単な因数分解から始めましょう。当然、と因数分解されます。 では問題です。次の多項式を(有理数の範囲で…
前回は1回しか微分できない関数を見ました。その前には至るところ微分不可能な関数を見ました。今回は、積分できない関数を見てみます。 ディリクレの関数 リーマン積分できないことの証明 区分求積法 リーマン積分できない証明 ルベーグ積分 ディリクレの関…
数Ⅱで初めて微分を習い、数Ⅲでより深く微分を習います。高校数学で見る微分可能な関数は、基本的に何回でも微分できます。 しかし、登場しないだけであって、高校数学の範囲内でも、1回微分可能だが2回微分不可能な関数は作れます。一般に、n回微分可能だがn…
歴史的に有名な反例をいくつか見てみましょう。 病的な数学① 病的な数学③ 1回しか微分出来ない関数 病的な数学④ ディリクレの関数 病的な数学⑤ 不思議な因数分解と円分多項式 病的な数学⑥ 空間を埋め尽くす曲線 病的な数学⑦ シェルピンスキーのギャスケット …
数学を勉強するにあたり、反例を考えるということは非常に重要です。反例を見ることで、「できること」と「できないこと」、「成り立つ場合」と「成り立たない場合」の境界がよりはっきりし、より深い理解が得られます。 この病的な数学というシリーズで、面…
2020年4月11日、自粛要請のため日比谷生の皆さんは家庭で勉強されているかと思います。その息抜きになることを願って、この「10958問題」を紹介します。 問題設定 具体例 10958問題 問題設定 1,2,3,4,5,6,7,8,9の数字をこの順番で1回ずつ使って、さまざまな…
2020年4月3日、数学の超難問であった「ABC予想」を証明したとされた論文が、8年に及ぶ査読の末、正しいことが認められました。「フェルマーの最終定理」や「ポアンカレ予想」の証明に並ぶ快挙であると言われています。今回はこのABC予想の内容や、何がすごい…
大学を知ろう、文系編は学部ごとの紹介をします。 理系編はこちら 理系-理学部はこちら 文系-経済学部はこちら 法学とは？ 憲法 民法 商法 民事訴訟法 刑法 刑事訴訟法 法学部に向いている人 中高のうちからこんなことに気を付けて勉強しよう 今回は、一般に…
大学を知ろう、文系編は学部ごとの紹介をします。 理系編はこちら 理系-理学部はこちら 経済学部 文系の学部は非常に多種多様です。 ・経済学部・政治学部・法学部・文学部・商学、経営学部・心理学部・社会学部… 今回もこのブログメイン筆者の元同級生、経…
大学を知ろう！理系編 今回は理学部ついて紹介します。 理学部はおもに ・数学科・物理学科・化学科・生物学科 などがあります。大学によって学科の名称が異なったり、これら以外の学科が設置されていることもあります。 今回は、化学科、生物学科に進んだ同…
新型コロナウイルスによりいつもより早い春休みに突入した皆様、いかがお過ごしでしょうか。今日はそんな暇な日比谷生やこれから日比谷高校を目指す方へ、大学の勉強はどのようなものかを紹介するシリーズを発信します。この機会に、自分の大学受験、進路に…
今回の記事は数IIBまでの範囲でぎり理解可能な内容です。できれば数IIIまでの知識を要求します。 今回は複雑な式が多く、すいすい読むのは厳しいかと思われます。ぜひ紙とペンを用意して手を動かしながらお楽しみください。 目的は、 が複素数の範囲内でどう…
