2019-04-03

中学生でも解ける大学入試数学４７★★ 1999年神戸大

中学生でも数学

中学入試でも見そうな問題です。ただ、最後の問題は少し難しいです。

問題
★★

2の倍数でも3の倍数でもない自然数を小さい順に並べていく。

(1) 1003は何番目の数か。

(2) 2000番目の数を求めよ。

(3) mを自然数とする。1番目から2m番目までの数を全て足した値をmを用いて表せ。

ヒント、着眼点

よくある倍数に関係する問題です。2の倍数、3の倍数を気にするときは、たいていその最小公倍数である6の倍数に注目することが多いです。

自然数を書いていき、2の倍数でも3の倍数でもないものを赤く色分けしてみます。

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,...

先ほど6の倍数といいましたが、自然数を6つずつ分けてみると、周期性が見えてきます。「赤、黒、黒、黒、赤、黒」が繰り返されていますね。

以下、解答

解答

(1) 335

(2) 5999

(3) 6m²

解説

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,...

この並びを参考にしつつ、2の倍数でも3の倍数でもない自然数を小さい順に並べていくと、

1,5,7,11,13,17,19,23,...

奇数番目は6で割って1余る数が、偶数番目には6で割って5余る数が来ます。

以上から、

k番目の奇数は2k-1と表され、2k-1番目の数は6k-5

k番目の偶数は2kと表され、2k番目の数は6k-1

と表されます。

1003は6で割ると1余る数なので、6k-5=1003とすると、k=168

つまり、1003は(168番目の奇数)番目に出てくる。168番目の奇数は、

2×168-1=335

(2)

n=2000のとき、nは偶数で、2k=2000とするとk=1000より1000番目の偶数である。よって、6×1000-1=5999

(3)

2の倍数でも3の倍数でもない自然数を小さい順に並べていくと、

1,5,7,11,13,17,19,23,...

この列は6k-5で表される数と6k-1で表される数が交互に並んでいるので、1番目から2m番目までには6k-5のタイプの数と6k-1のタイプの数がそれぞれm個ずつある。

6k-5の数の1個目からm個目の和をmで表すと、

$1+7+13+19+\dots+6m-5\\=(6\times1-5)+(6\times2-5)+(6\times3-5)+(6\times4-5)+\dots+(6\times m-5)\\=6(1+2+3+4+\dots+m)-5m\\\displaystyle=6\times\frac{m(m+1)}{2}-5m=3m^2-2m$

同様に、6k-1の数の1個目からm個目の和をmで表すと、

$5+11+17+23+\dots+6m-1\\=(6\times1-1)+(6\times2-1)+(6\times3-1)+(6\times4-1)+\dots+(6\times m-1)\\=6(1+2+3+4+\dots+m)-m\\\displaystyle=6\times\frac{m(m+1)}{2}-m=3m^2+2m$

よって、答えは

$(3m^2-2m)+(3m^2+2m)=\underline{6m^2}$

補足

(3)は、高校の数列という範囲のシグマの計算を使うと簡単にできます。

$\displaystyle\sum_{k=1}^{m}(6k-5)+\sum_{k=1}^{m}(6k-1)\\\displaystyle=\sum_{k=1}^{m}(12k-6)\\\displaystyle=12\times\frac{m(m+1)}{2}-6m=6m^2$

このようになります。

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written by k

2019-03-30

日比谷高校漢字講座 Part3

日比谷高校国語高校受験

第一問次の漢字の読みを答えよ。

1. 煩雑な計算問題を解く。

2. 浅薄な思考を咎められる。

3. 従来のやり方に固執する。

4. 虚空を見つめる。

5. 悪口雑言の限りを尽くす。

第二問次のひらがなを漢字に直せ。

1. 孫の顔を見てそうごうを崩す。

2. しょもうされた製品を納品する。

3. 彼の仮説はあながち間違いではない。

4. 計画のかなめを担う。

5. よういしゅうとうな対策

以下、答えになります。

第一問

1. はんざつ

2. せんぱく

3. こしつ

4. こくう

5. あっこうぞうごん

第二問

1. 相好

2. 所望

3. 強ち

4. 要

5. 用意周到

『相好を崩す』は、読み問題として出てもおかしくありません。

【正答率目安】

8問〜: 合格者平均は堅い。

6-7問: 受験者平均並み。さらなる高みを目指しましょう。

〜5問: 要対策。危機感を持って。

では、また次回。

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written by Akky

2019-03-29

【数学小話】aのb乗とbのa乗はどちらが大きいか

数学小話数学

さて、どちらが大きいか当ててみてください。実際に計算するもよし、概算や直感で判断するもよし、です。

問題
logを使って解析する
eとは？
関連する有名な問題

問題

問題1. どちらが大きいか。

(1) 34と43
(2) 5¹⁰と10⁵(3) 10¹¹と11¹⁰

答え1.

(1) 34=81, 43=64より、34
(2) 510=9765625, 105=100000より、510
(3) 1011=100000000000, 1110=25937424601より、1011

さて、これらを見ると、こんな法則があるように思えてきます。

a<bならば、ab>ba？

ようするに、指数の値が大きい方が大きい、という法則があるような気がします。

では、次の問題はどうでしょうか。
問題2. どちらが大きいか。

(1) 23と3²(2) 1¹⁰⁰⁰⁰と10000¹

答え2.

(1) 23=8, 32=9より、32
(2) 110000=1, 100001=10000より、100001

今回の問題は全て先ほどと逆の結果になりました。指数の値が小さい方が大きくなりました。どうやら一筋縄ではいかないようです。

問題3. 大小を比較せよ。

24と4²

答え3.

24=16, 42=16より、等しい

なんと等しい例まで出てきてしまいました。もうわけわからん。

実は、このような事実があります。

a<bを満たす自然数a,bについて、以下が成り立つ。
(1) a=1または(a,b)=(2,3)のとき、ab<b

(2) (a,b)=(2,4)のとき、ab=ba

(3) それ以外のとき、ab>ba

なかなか興味深いです。小さい方の値が1でないとき、たった2例を除き、指数の値が大きい方が大きくなるのです。何故そうなのかは後で分かります。

では、考える対象を自然数から0より大きい実数全てに広げて考えるとどうなるでしょうか。さらに不思議なことになります。

0<a<bなる正の実数について、abとbaの大小関係はどうなるか。

さて、これをどうやって解決すればいいかというと、高2で習う対数と、高3で習うlogの微分の知識を使います。まだ対数、logを習っていない人は、テキトーに流し読みしてもらって構いません。赤字だけ読めば十分わかるようになっています。

logを使って解析する

$0＜a＜b$ とする。
$a^b＞b^a\\\Leftrightarrow \log a^b＞\log b^a\\\Leftrightarrow b\log a＞a\log b\\\displaystyle\Leftrightarrow \frac{\log a}{a}＞\frac{\log b}{b}$
ab<baのときも同様に考えると関数f(x)を、
$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}\ (x＞0)$
とすれば、
$a^b＞b^a\\\displaystyle\Leftrightarrow f(a)＞f(b)$
ab<baのときも同様に考えると、f(a)とf(b)の大小関係とabとbaの大小関係は一致する。
f(a)という表記に馴染みのない方は、要するにy=f(x)という式にx=aを代入した時のyの値のことと思ってください。
y=f(x)のグラフを書いてみましょう。この程度であれば高3理系の定期テスト～入試レベルです。高3理系であれば微分して増減表まで書けるように。
$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}\ (x＞0)$
1回微分、2回微分するとそれぞれ、
$\displaystyle f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x\cdot1}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}$

$\displaystyle f''(x)=\frac{-\frac{1}{x}\cdot x^2-(1-\log x)\cdot 2x}{x^4}=\frac{2\log x -3}{x^3}$

$f'(x)=0$ とすると、 $x=e$
$f''(x)=0$ とすると、 $x=e\sqrt{e}$
増減表は以下の通り。

f:id:hby:20190318014215j:plain

グラフは以下のようになります。変曲点は使わないので、結局2回微分の必要はありませんでしたが、計算練習、紹介ということで。

f:id:hby:20190318015645j:plain このグラフは、x→0でy→-∞、x→∞でy→0となります。
グラフの最大値はx=eのとき1/eです。eはネイピア数という特別な定数で、e≒2.7です。
これと先ほどのf(a)とf(b)の大小関係とabとbaの大小関係は一致するとをグラフに当てはめてみると、このようなことが言えます。

xが自然数のときのf(x)の値を考えると、大きい順に、
f(3)>f(2)=f(4)>f(5)>f(6)>f(7)>...>f(1)
よって、例えば、
f(3)>f(2)だから、32>23
f(4)>f(7)だから、47>74

これが先程紹介した、自然数におけるabとbaの関係の理由です。

また、xが0より大きい実数のときを考えると、次がいえます。

0<a<b≦eなら、常にab<ba

e≦a<bなら、常にab>ba

0<a<e<bなら、どちらの場合もあり得る

ということで、一つ面白いことが分かりました。
xが0より大きく、eでないどんな実数でも、xe<ex
一番強いのはeの累乗でした(?)。つまり、
100eよりe100の方が大きい。
100000eよりe100000の方が大きい。
9999999999eよりe9999999999の方が大きい。
このようなことが成り立つのは、実数の中でもeのみです。

aとbがeの値をまたいでいるときは、実際にf(a)とf(b)を計算するか、直接abとbaを計算して比べることになります。
ただし、グラフの0<x<1の範囲ではf(x)<0で、x>1ではf(x)>0なので、0<a<1<bならab<baです。

eとは？

ネイピア数eは、高3理系の数IIIでこのように登場します。
$\displaystyle e=\lim_{n \to \infty} \biggr(1+\frac{1}{n}\biggr)^n$
$\displaystyle\lim_{n \to \infty}$ という記号は、nを無限大に持って行ったときに近づく値、という意味です。この式を見ると、式の言っている内容は、感覚的には「1の無限乗」になってその値は1になりそうに思えますが、実は、2.718281828459045...というある値に近づくのです。この値をネイピア数と呼び、eと表すのです。eにはさまざまな性質、特徴があります。有名なものでいえば、
$\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots$
など。ほかにも、eは統計学や金利計算などでも活躍します。

問題

logを使って解析する

eとは？

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